Question

如圖：正五邊形ABCDE的對角線AC和BE相交于M，
（1）在圖中找出一條與EM相等的線段，并給與證明；
（2）如果AB=2，求EB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）找出EA與EM相等，理由為：根據(jù)五邊形為正五邊形，利用多邊形的內(nèi)角和定理求出五邊形的內(nèi)角為108°，由EA=AB，根據(jù)等邊對等角得到∠BEA=∠ABE，根據(jù)頂角的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BEA與∠ABE的度數(shù)，同理求出∠MAB的度數(shù)，進而得到∠EMA與∠EAM度數(shù)相等，根據(jù)等角對等邊即可得證；
（2）設(shè)EB=x，根據(jù)（1）得到EM=EA，及AB=2，表示出MB=x-2，然后由一對角的度數(shù)相等，加上一個公共角，證明三角形AEB與三角形MAB相似，根據(jù)相似得比例，把對應的邊長代入即可列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為EB的長．
解答：解：（1）EA=EM，（1分）理由如下：
證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠EAB=108°，EA=AB，
∴∠BEA=∠ABE=36°，同理∠MAB=36°，
∴∠EMA=72°，∠EAM=72°，
∴EM=EA；（4分）

（2）設(shè)EB=x，由（1）知MB=EB-EA=x-2，
在△AEB和△MAB中，
∠AEB=∠MAB=36°，∠ABE=∠MBA，
∴△AEB∽△MAB，（7分）
∴=，∴=，即x²-2x-4=0，（2分）                 
∴x=1+或 x=1-，（舍去）
從而EB=1+．（10分）
點評：此題考查了正五邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用相似得比例，利用轉(zhuǎn)化思想及方程思想解決問題．