Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD平分△ABC的外角∠BCM，交⊙O于點D，連接AD，BD．
（1）求證：AD=BD；
（2）若AB=6，sin∠ACB=

3

5

，C為弧AD的中點，連接DO，并延長交BC于點E，求OE的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：（1）由CD平分△ABC的外角∠BCM得到∠MCD=∠DCB，再根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠DCB=∠DAB，∠MCD=∠DBA，則∠DAB=∠DBA，于是可得到結論；
（2）延長DO交AB于F，連結OC交AD于P，作EH⊥AD于H，根據(jù)等腰三角形外心的性質(zhì)得到DF垂直平分AB，則AF=

1

2

AB=3，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=∠AOF，
則sin∠AOF=sin∠ACB=

AF

AO

=

3

5

，可計算出半徑OA=5，用勾股定理數(shù)出OF=4，AD=3

10

，由C為弧AD的中點，根據(jù)垂徑定理得OP垂直平分AD，PD=

3 10

2

，∠ABC=∠DBC，所以點E為△ABC的內(nèi)心，則AE平分∠DAB，根據(jù)角平分線性質(zhì)得EH=EP，用勾股定理計算出PO=

10

2

，然后利用OP∥EH得到△DOP∽△DEH，
通過相似比計算出OE．

解答：（1）證明：∵CD平分△ABC的外角∠BCM，
∴∠MCD=∠DCB，
∵∠DCB=∠DAB，∠MCD=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD；
（2）解：延長DO交AB于F，連結OA、OC交AD于P，作EH⊥AD于H，如圖，
∵DA=DB，
∴DF垂直平分AB，
∴AF=

1

2

AB=3，
∵∠ACB=∠AOF，
∴sin∠AOF=sin∠ACB=

AF

AO

=

3

5

，
∴OA=5，
在Rt△OPA中，OF=

52-32

=4，
在Rt△AFD中，AD=

AF2+DF2

=3

10

∵C為弧AD的中點，
∴OP垂直平分AD，PD=

3 10

2

，∠ABC=∠DBC，
∴點E為△ABC的內(nèi)心，
∴AE平分∠DAB，
∴EH=EF，
在Rt△DPO中，OP=

DO2-DP2

=

10

2

，
∵OP∥EH，
∴△DOP∽△DEH，
∴

DO

DE

=

OP

EH

，即

5

5+OE

=

10 2

4-OE

，
∴OE=5-

10

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對的圓心角度數(shù)的一半．也考查了勾股定理、垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．