Question

9．四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．
（1）如圖1，點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為一邊，作正方形OPMN，且邊ON與邊BC相交，連接AP，BN．
①依題意補(bǔ)全圖1；
②判斷AP與BN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明；
（2）點(diǎn)P在AB延長線上，且∠APO=30°，連接OP，以O(shè)P為一邊，作正方形OPMN，且邊ON與BC的延長線恰交于點(diǎn)N，連接CM，若AB=2，求CM的長（不必寫出計(jì)算結(jié)果，簡(jiǎn)述求CM長的過程）

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意作出圖形即可．②結(jié)論：AP=BN，AP⊥BN，只要證明△APO≌△BNO即可．
（2）在RT△CMS中，求出SM，SC即可解決問題．

解答 解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖1所示，

②結(jié)論：AP=BN，AP⊥BN．
理由：延長NB交AP于H，交OP于K．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠1+∠2=90°，
∵四邊形OPMN是正方形，
∴OP=ON，∠PON=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△APO和△BNO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠1=∠3}\\{OP=ON}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△BNO，
∴AP=BN，∴∠4=∠5，
在△OKN中，∠5+∠6=90°，
∵∠7=∠6，
∴∠4+∠7=90°，
∴∠PHK=90°，
∴AP⊥BN．

（2）解題思路如下：

a．首先證明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．
b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由題意可知AT=TB=1，
c．由∠APO=30°，可得PT=$\sqrt{3}$，BN=AP=$\sqrt{3}$+1，可得∠POT=∠MNS=60°．
d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，
可證，△OTP≌△NSM，
∴PT=MS=$\sqrt{3}$，
∴CN=BN-BC=$\sqrt{3}$-1，
∴SC=SN-CN=2-$\sqrt{3}$，
在RT△MSC中，CM²=MS²+SC²，
∴MC的長可求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．