Question

1．如圖，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，若將△ABC翻折，折痕EF分別交邊AB、邊AC于點(diǎn)E和點(diǎn)F且點(diǎn)A落在BC邊上，記作點(diǎn)D．設(shè)BD=x，y=tan∠AFE．
（1）連AD交折痕EF于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)E從AB邊中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合的過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是多少？（直接寫出答案）
（2）若點(diǎn)E不與B點(diǎn)重合，點(diǎn)F不與C點(diǎn)重合，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；
（3）當(dāng)$\frac{AD}{EF}$=$\frac{4}{5}$時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理和三角函數(shù)進(jìn)行解答即可；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，交直線AC于點(diǎn)G，由相似三角形的判定和性質(zhì)得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）當(dāng)$\frac{AD}{EF}$=$\frac{4}{5}$時(shí)，設(shè)AD=4a，根據(jù)解直角三角形得出y的值，再代入可得x的值．

解答 解：（1）如圖1，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P'是AD'的中點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，AD是BC邊上的高，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=10，
故sin∠ABC=cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}$，sin∠ACB=cos∠ABC=$\frac{4}{5}$，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
∴BC=AB•cos∠ABC=$\frac{32}{5}$，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，BD'=AB=8，DD'=BD'-BD=8-$\frac{32}{5}=\frac{8}{5}$，
∴由三角形的中位線的性質(zhì)可得，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為$\frac{1}{2}×\frac{8}{5}=\frac{4}{5}$；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，交直線AC于點(diǎn)G，

則∠ADC=∠EDF=∠BAC=90°，由等式的性質(zhì)可得∠BDE=∠GDF，
∵∠B=∠DGF（同角的余角相等），
∴△BDE∽△GDF，
∴$\frac{BD}{DG}=\frac{DE}{DF}$，
而$\frac{DE}{DF}=tan∠DFE=tan∠AFE=y$，
在Rt△CDG中，DG=CD$•tan∠C=\frac{4}{3}（10-x）$，
∴$y=\frac{3x}{4（10-x）}（4≤x≤8）$；
（3）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，AP=DP=$\frac{1}{2}AD$，設(shè)AD=4a，
則AP=2a，EF=5a，在Rt△APF中，PF=$\frac{AP}{y}=\frac{2a}{y}$，
在Rt△AEP中，EP=AP•y=2ay，
∴$\frac{2a}{y}+2ay=5a$，
解得：${y}_{1}=\frac{1}{2}，{y}_{2}=2$，
當(dāng)$y=\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{3x}{4（10-x）}=\frac{1}{2}$，解得：x=4；
當(dāng)y=2時(shí)，$\frac{3x}{4（10-x）}=2$，解得：x=$\frac{80}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何變換問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、解直角三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)解答．