Question

如圖，正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，DE=CF，AF與BE相交于O，DG⊥AF，垂足為G．
（1）求證：AF⊥BE；
（2）試探究線段AO、BO、GO的長度之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，然后求出AE=DF，再利用“邊角邊”證明△ABE和△DAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2，再求出∠1+∠3=90°，然后得到∠AOB=90°，根據(jù)垂線的定義即可得證；
（2）利用“角角邊”證明△ABO和△DAG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=BO，即可得解．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵DE=CF，
∴AD-DE=CD-CF，
即AE=DF，
∵在△ABE和△DAF中，

AB=AD ∠BAD=∠ADC AE=DF

，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AF⊥BE；

（2）解：∵DG⊥AF，
∴∠DGA=90°，
∴∠AOB=∠DGA=90°，
∵在△ABO和△DAG中，

∠1=∠2 ∠AOB=∠DGA AB=AD

，
∴△ABO≌△DAG（AAS），
∴AG=BO，
∴AO+GO=BO．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，比較簡單，熟練掌握正方形的性質(zhì)，確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．