【題目】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,AB=2 ,點E為對角線AC上一動點,連接DE,過點E作EF⊥DE,交射線BC于點F,以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.
(1)求證:矩形DEFG是正方形;
(2)探究:CE+CG的值是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由;
(3)設(shè)AE=x,四邊形DEFG的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】
(1)
解:如圖,作EM⊥BC,EN⊥CD
∴∠MEN=90°,
∵點E是正方形ABCD對角線上的點,
∴EM=EN,
∵∠DEF=90°,
∴∠DEN=∠MEF,
在△DEM和△FEM中,
,
∴△DEM≌△FEM,
∴EF=DE,
∵四邊形DEFG是矩形,
∴矩形DEFG是正方形;
(2)
解:CE+CG的值是定值,定值為4,
∵正方形DEFG和正方形ABCD,
∴DE=DG,AD=DC,
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠CDG=∠ADE,
∴△ADE≌△CDG,
∴AE=CG.
∴CE+CG=CE+AE=AC= AB= ×2 =4,
(3)
解:如圖,
∵正方形ABCD中,AB=2 ,
∴AC=4,
過點E作EM⊥AD,
∴∠DAE=45°,
∵AE=x,
∴AM=EM= x,
在Rt△DME中,DM=AD﹣AM=2 ﹣ x,EM= x,
根據(jù)勾股定理得,DE2=DM2+EM2=(2 ﹣ x)2+( x)2=x2﹣4x+8,
∵四邊形DEFG為正方形,
∴S=S正方形DEFG=DE2=x2﹣4x+8.
【解析】(1)作出輔助線,得到EN=EM,然后判斷∠DEN=∠FEM,得到△DEM≌△FEM,則有DE=EF即可;(2)同(1)的方法判斷出△ADE≌△CDG得到CG=AE,即:CE+CG=CE+AE=AC=4;(3)由正方形的性質(zhì)得到∠DAE=45°,表示出AM=EM,再表示出DM,再用勾股定理求出DE2 .
【考點精析】關(guān)于本題考查的正方形的判定方法,需要了解先判定一個四邊形是矩形,再判定出有一組鄰邊相等;先判定一個四邊形是菱形,再判定出有一個角是直角才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】正方形A1B1C1O,A2B2C2C1 , A3B3C3C2 , …按如圖所示放置,點A1 , A2 , A3 , 和點C1 , C2 , C3 , …,分別在直線y=kx+b(k>0)和x軸上,已知點B1 , B2 , B3 , B4的坐標分別為(1,1)(3,2),(7,4),(15,8),則Bn的坐標是( )
A.(2n﹣1,2n﹣1)
B.(2n , 2n﹣1)
C.(2n﹣1 , 2n)
D.(2n﹣1﹣1,2n﹣1)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=100cm,∠A=60°,點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒(0<t≤25).過點D作DF⊥BC于點F,連接DE,EF.
(1)求證:四邊形AEFD是平行四邊形;
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應的t值;如果不能,請說明理由;
(3)當t為何值時,△DEF為直角三角形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c為有理數(shù),且它們在數(shù)軸上的位置如圖所示.
(1)試判斷a,b,c的正負性;
(2)根據(jù)數(shù)軸化簡:
①|a|=_____; ②|b|=_____:
③|c|=_____; ④|-a|=_____;
⑤|-b|=_____; ⑥|-c|=_____.
(3)若|a|=5.5,|b|=2.5,|c|=5,求a,b,c的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)a1=22-02,a2=32-12,…,an=(n+1)2-(n-1)2(n為大于1的整數(shù))
(1)計算a15的值;
(2)通過拼圖你發(fā)現(xiàn)前三個圖形的面積之和與第四個正方形的面積之間有什么關(guān)系:
__________________________________(用含a、b的式子表示);
(3)根據(jù)(2)中結(jié)論,探究an=(n+1)2-(n-1)2是否為4的倍數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù) 的圖象交于二四象限內(nèi)的A、B 兩點,與x軸交于C點,點B的坐標為(6,n),線段OA=5,E為x軸負半軸上一點,且sin∠AOE= .
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求△AOC的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點 的坐標為,以 A 為頂點的的兩邊始終與 軸交于 、兩點(在 左面),且.
(1)如圖,連接,當 時,試說明:.
(2)過點 作軸,垂足為,當時,將沿所在直線翻折,翻折后邊 交 軸于點 ,求點 的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點O在直線AB上,點A1,A2,A3,…在射線OA上,點B1,B2,B3,…在射線OB上,圖中的每一個實線段和虛線段的長均為1個單位長度.一個動點M從O點出發(fā),按如圖所示的箭頭方向沿著實線段和以O為圓心的半圓勻速運動,速度為每秒1個單位長度.按此規(guī)律,則動點M到達A101點處所需時間為( )秒.
A. 5050π B. 5050π+101 C. 5055π D. 5055π+101
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知線段AB,用尺規(guī)按要求作圖.(用黑色水筆描粗作圖痕跡,不要求寫作法)
(1)延長線段AB到C,使BC=AB;
(2)延長線段BA到D,使AD=2AB;
(3)若AB=2cm,則BD=__________cm,CD=__________.
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