Question

7．如圖，在△BCE中，點(diǎn)A是邊BE上一點(diǎn)，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點(diǎn)D，AD∥OC，點(diǎn)F為OC與⊙O的交點(diǎn)，連接AF．
（1）求證：CB是⊙O的切線；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明CB是⊙O的切線，只要證明BC⊥OB，可以證明△CDO≌△CBO解決問題．
（2）首先證明S_陰=S_扇形ODF，然后利用扇形面積公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連接OD，與AF相交于點(diǎn)G，
∵CE與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥CE，
∴∠CDO=90°，
∵AD∥OC，
∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DOC=∠BOC，
在△CDO和△CBO中，\
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{∠DOC=∠BOC}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴CB是⊙O的切線．
（2）由（1）可知∠DOA=∠BCO，∠DOC=∠BOC，
∵∠ECB=60°，
∴∠DCO=∠BCO=$\frac{1}{2}$∠ECB=30°，
∴∠DOC=∠BOC=60°，
∴∠DOA=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∴AD=OD=OF，∵∠GOF=∠ADO，
在△ADG和△FOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GOF=∠ADG}\\{∠FGO=∠AGD}\\{AD=OF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△FOG，
∴S_△ADG=S_△FOG，
∵AB=6，
∴⊙O的半徑r=3，
∴S_陰=S_扇形ODF=$\frac{60π•{3}^{2}}{360}$=$\frac{3}{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)和判定、扇形的面積公式，記住切線的判定方法和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)把求不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形面積，屬于中考�？碱}型．