Question

17．如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA=2，OA和AB的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求弦AB的長(zhǎng)度；    
（2）計(jì)算S_△AOB；
（3）⊙O上一動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周，當(dāng)S_△POA=S_△AOB時(shí)，求P點(diǎn)所經(jīng)過的弧長(zhǎng)（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)B重合的情形）．

Answer 1

分析 （1）OA和AB的長(zhǎng)度是一元二次方程的根，所以利用韋達(dá)定理即可求出AB的長(zhǎng)度．
（2）作出△AOB的高OC，然后求出OC的長(zhǎng)度即可．
（3）由題意知：兩三角形有公共的底邊，要面積相等，即高要相等．

解答 解：（1）由題意知：OA和AB的長(zhǎng)度是x²-4x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴OA+AB=-$\frac{-4}{1}$=4，
∵OA=2，
∴AB=2；

（2）過點(diǎn)C作OC⊥AB于點(diǎn)C，
∵OA=AB=OB=2，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=1
在Rt△ACO中，
由勾股定理可得：OC=$\sqrt{3}$
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$

（3）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，
由于△AOB與△POA有公共邊OA，
當(dāng)S_△POA=S_△AOB時(shí)，
∴△AOB與△POA高相等，
由（2）可知：等邊△AOB的高為$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P到直線OA的距離為$\sqrt{3}$，這樣點(diǎn)共有3個(gè)
①過點(diǎn)B作BP₁∥OA交⊙O于點(diǎn)P₁，
∴∠BOP₁=60°，
∴此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過的弧長(zhǎng)為：$\frac{240°π×2}{180°}$=$\frac{8π}{3}$，
②作點(diǎn)P₂，使得P₁與P₂關(guān)于直線OA對(duì)稱，
∴∠P₂OD=60°，
∴此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過的弧長(zhǎng)為：$\frac{120°π×2}{180°}$=$\frac{4}{3}$π，
③作點(diǎn)P₃，使得B與P₃關(guān)于直線OA對(duì)稱，
∴∠P₃OP₂=60°，
∴此時(shí)P經(jīng)過的弧長(zhǎng)為：$\frac{60°π×2}{180°}$=$\frac{2π}{3}$，
綜上所述：當(dāng)S_△POA=S_△AOB時(shí)，P點(diǎn)所經(jīng)過的弧長(zhǎng)分別是$\frac{4}{3}π$、$\frac{8}{3}π$、$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一元二次方程與圓的綜合知識(shí)．涉及等邊三角形性質(zhì)，圓的對(duì)稱性等知識(shí)，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力要求較高．故要求學(xué)生把所學(xué)知識(shí)融匯貫穿，靈活運(yùn)用．