Question

【題目】定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做神奇四邊形．順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形叫做中點四邊形．

（1）判斷：

①在平行四邊形、矩形、菱形中，一定是神奇四邊形的是 ；

②命題：如圖1，在四邊形中，則四邊形是神奇四邊形．此命題是_____（填“真”或“假”)命題；

③神奇四邊形的中點四邊形是

（2）如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接

①求證：四邊形是神奇四邊形；

②若，求的長；

（3）如圖3，四邊形是神奇四邊形，若分別是方程的兩根，求的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；真；矩形；（2）①見解析，②；（3）5

【解析】

（1）①根據(jù)神奇四邊形的定義即可判斷；

②連接AC、BD，根據(jù)SSS證明△ADC≌△ABC得出∠DAC=∠BAC，再利用等腰三角形三線合一的性質證明AC⊥BD即可得到結論；

③根據(jù)四邊形對角線互相垂直，運用三角形中位線平行于第三邊證明四個角都是直角，判斷是矩形．

（2）①判斷出CE⊥BG，即可得出四邊形BCGE是神奇四邊形；

②利用勾股定理即得出，再把相關數(shù)據(jù)代入求解即可；

(3)利用勾股定理即可得出，把，代入求得，再由方程得到，，進而得出，求解方程即可.

①∵在平行四邊形、矩形、菱形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形，

∴菱形一定是神奇四邊形；

故答案為：菱形；

②連接AC、BD，

在△ACD和△ACB中，

∴△ACD≌△ACB

∴∠DAC=∠BAC

∵AB=AD

∴AC⊥BD

∴四邊形是神奇四邊形.

故答案為：真；

③如圖：∵E、F、G、H分別為各邊中點，

∴EF∥GH∥AC，EF=GH=AC，
EH=FG=DB，EH∥FG∥BD，
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四邊形EFGH是矩形．

故答案為：矩形；

證明:連接相交于點交于點,如圖所

正方形和正方形,

,

,即

在和中,

,

，

,

,即

四邊形是神奇四邊形;

②四邊形是神奇四邊形，

,

由勾股定理得

，

,

正方形和正方形,

,

.

四邊形是神奇四邊形,同中②的證明方法,可得

又分別是方程的兩根.

解得

當時,不合題意,所以舍去，