【題目】如圖,⊙M與菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,點M的坐標(biāo)為(﹣3,1),點A的坐標(biāo)為(2,0),點B的坐標(biāo)為(1,﹣ ),點D在x軸上,且點D在點A的右側(cè).

(1)求菱形ABCD的周長;
(2)若⊙M沿x軸向右以每秒2個單位長度的速度平移,菱形ABCD沿x軸向左以每秒3個單位長度的速度平移,設(shè)菱形移動的時間為t(秒),當(dāng)⊙M與AD相切,且切點為AD的中點時,連接AC,求t的值及∠MAC的度數(shù);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點M與AC所在的直線的距離為1時,求t的值.

【答案】
(1)解:過點B作BE⊥AD,垂足為E.

∵B(1,﹣ ),A(2,0),

∴BE= ,AE=1.

∴AB= =2.

∵四邊形ABCD為菱形,

∴AB=BC=CD=AD.

∴菱形的周長=2×4=8.


(2)解:如圖2所示:⊙M與x軸的切線為F,AD的中點為E.

∵M(﹣3,1),

∴F(﹣3,0).

∵AD=2,且E為AD的中點,

∴E(3,0).

∴EF=6.

∴2t+3t=6.

解得:t=

平移的圖形如圖3所示:過點B作BE⊥AD,垂足為E,連接MF,F(xiàn)為⊙M與AD的切點.

∵由(1)可知;AE=1,BE= ,

∴tan∠EAB=

∴∠EAB=60°.

∴∠FAB=120°.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠FAC= ∠FAB= ×120°=60°.

∵AD為⊙M的切線,

∴MF⊥AD.

∵F為AD的中點,

∴AF=MF=1.

∴△AFM為等腰直角三角形.

∴∠MAF=45°.

∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=45°+60°=105°.


(3)解:如圖4所示:連接AM,過點作MN⊥AC,垂足為N,作ME⊥AD,垂足為E.

∵四邊形ABCD為菱形,∠DAB=120°,

∴∠DAC=60°.

∵AC、AD是圓M的切線,

∴∠MAE=30°.

∵ME=MN=1,

∴EA=

∴3t+2t=5﹣

∴t=1﹣

如圖5所示:連接AM,過點作MN⊥AC,垂足為N,作ME⊥AD,垂足為E.

∵四邊形ABCD為菱形,∠DAB=120°,

∴∠DAC=60°.

∴∠NAE=120°.

∵AC、AD是圓M的切線,

∴∠MAE=60°.

∵ME=MN=1,

∴EA=

∴3t+2t=5+

∴t=1+

綜上所述當(dāng)t=1﹣ 或t=1+ 時,圓M與AC相切.


【解析】(1)過點B作BE⊥AD,垂足為E.由A、B的坐標(biāo)和勾股定理可求出AB的長,進而可得菱形ABCD的周長;
(2)設(shè)⊙M與x軸的切線為F,AD的中點為E.根據(jù)題意易求出EF的長,從而求出t的值;過點B作BE⊥AD,垂足為E,連接MF,F(xiàn)為⊙M與AD的切點.根據(jù)AD是圓M的切線和菱形的性質(zhì),可證得△AFM為等腰直角三角形,從而求得∠MAC的度數(shù);
(3)在圖4和圖5中,連接AM,過點作MN⊥AC,垂足為N,作ME⊥AD,垂足為E.圖4中,由四邊形ABCD為菱形,可得∠DAC=60°,再由AC、AD是圓M的切線,可得∠MAE=30°,由三角函數(shù)可得EA的長,再由3t+2t=5-AE可求出t的值;圖5中,同理先求出AEden長,再由3t+2t=5+AE求出t的值.

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