【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,3),且此拋物線的頂點坐標(biāo)為M(﹣1,4).

(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)點D為已知拋物線對稱軸上的任意一點,當(dāng)△ACD與△ACB面積相等時,求點D的坐標(biāo);
(3)點P在線段AM上,當(dāng)PC與y軸垂直時,過點P作x軸的垂線,垂足為E,將△PCE沿直線CE翻折,使點P的對應(yīng)點P′與P、E、C處在同一平面內(nèi),請求出點P′坐標(biāo),并判斷點P′是否在該拋物線上.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點C(0,3),頂點為M(﹣1,4),

,解得:

∴所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3


(2)

解:依照題意畫出圖形,如圖1所示.

令y=﹣x2﹣2x+3=0,解得:x=﹣3或x=1,

故A(﹣3,0),B(1,0),

∴OA=OC,△AOC為等腰直角三角形.

設(shè)AC交對稱軸x=﹣1于F(﹣1,yF),

由點A(﹣3,0)、C(0,3)可知直線AC的解析式為y=x+3,

∴yF=﹣1+3=2,即F(﹣1,2).

設(shè)點D坐標(biāo)為(﹣1,yD),

則SADC= DFAO= ×|yD﹣2|×3.

又∵SABC= ABOC= ×[1﹣(﹣3)]×3=6,且SADC=SABC,

×|yD﹣2|×3.=6,解得:yD=﹣2或yD=6.

∴點D的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2)或(﹣1,6)


(3)

解:如圖2,點P′為點P關(guān)于直線CE的對稱點,過點P′作PH⊥y軸于H,設(shè)P′E交y軸于點N.

在△EON和△CP′N中, ,

∴△EON≌△CP′N(AAS).

設(shè)NC=m,則NE=m,

∵A(﹣3,0)、M(﹣1,4)可知直線AM的解析式為y=2x+6,

∴當(dāng)y=3時,x=﹣ ,即點P(﹣ ,3).

∴P′C=PC= ,P′N=3﹣m,

在Rt△P′NC中,由勾股定理,得: +(3﹣m)2=m2,

解得:m=

∵SP′NC= CNP′H= P′NP′C,

∴P′H=

由△CHP′∽△CP′N可得: ,

∴CH= = ,

∴OH=3﹣ = ,

∴P′的坐標(biāo)為( , ).

將點P′( , )代入拋物線解析式,

得:y=﹣ ﹣2× +3= ,

∴點P′不在該拋物線上.


【解析】(1)由拋物線經(jīng)過的C點坐標(biāo)以及頂點M的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式;(2)設(shè)點D坐標(biāo)為(﹣1,yD),根據(jù)三角形的面積公式以及△ACD與△ACB面積相等,即可得出關(guān)于yD含絕對值符號的一元一次方程,解方程即可得出結(jié)論;(3)作點P關(guān)于直線CE的對稱點P′,過點P′作PH⊥y軸于H,設(shè)P′E交y軸于點N.根據(jù)對稱的性質(zhì)即可得出△EON≌△CP′N,從而得出CN=NE,由點A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AM的解析式,進而得出點P的坐標(biāo),在Rt△P′NC中,由勾股定理可求出CN的值,再由相似三角形的性質(zhì)以及線段間的關(guān)系即可找出點P′的坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中看等式是否成立,由此即可得出結(jié)論.

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