【題目】已知:的兩條高交于點(diǎn),點(diǎn)分別是,的中點(diǎn),連接.
求證:垂直平分;
若.判斷以為頂點(diǎn)的四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見解析;(2)四邊形MEND是正方形,見解析.
【解析】
(1)連接EM,EN,DM,DN,根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明ME=MD,NE=ND即可解決問題;
(2)結(jié)論:四邊形MEND是正方形,連接EM,EN,DM,DN,首先證明△ADF≌△BDC,得到AF=BC,進(jìn)而得到DM=DN=EM=EN,然后求出∠NDM=90°,根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形即可證明.
(1)證明:如圖1,連接EM,EN,DM,DN.
∵BD,CE是△ABC的高,
∴BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°,
∵在Rt△AEF中,M是AF的中點(diǎn),
∴EM=AF,
同理,DM=AF,EN=BC,DN=BC,
∴EM=DM,EN=DN,
∴點(diǎn)M,N在ED的垂直平分線上,
∴MN垂直平分ED;
(2)結(jié)論:四邊形MEND是正方形.
證明:如圖2,連接EM,EN,DM,DN.
∵∠EBD=∠DCE=45°,∠BDA=∠CDF=90°,
∴∠BAD=∠ABD=45°,∠DFC=∠DCF=45°,
∴AD=BD,DF=DC,
在△ADF和△BDC中,,
∴△ADF≌△BDC(SAS),
∴AF=BC,∠1=∠2,
∵DM=AF=AM,DN=BC=BN,
∴DM=DN,∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠3=∠4,
由(1)知EM=DM,EN=DN,
∴DM=DN=EM=EN,
∴四邊形MEND是菱形,
∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°,
∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°,
∴四邊形MEND是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=12cm,點(diǎn) D 為△ABC 內(nèi)一點(diǎn),∠BAD=15°,AD= 4 cm,連接 BD,將△ABD 繞點(diǎn) A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使 AB 與 AC 重合,點(diǎn) D 的對應(yīng)點(diǎn)點(diǎn) E,連接 DE,DE 交 AC 于點(diǎn) F,則 CF 的長為__________cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次測試成績中隨機(jī)抽取次,數(shù)據(jù)如下(單位:分).
甲 | ||||||||
乙 |
(1)請你計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù).
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪名工人參加合適?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將Rt△ABC沿某條直線折疊,使斜邊的兩個端點(diǎn)A與B重合,折痕為DE.
(1)如果AC=6cm,BC=8cm,試求△ACD的周長;
(2)如果∠CAD:∠BAD=1:2,求∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形中,動點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時出發(fā),以相同的速度在直線上移動;
(1)如圖①,當(dāng)分別移動到邊的延長線上時,連接和與的關(guān)系為____ ;
(2)如圖②,己知正方形的邊長為點(diǎn)和分別從點(diǎn)同時出發(fā),以相同的速度沿方向向終點(diǎn)和運(yùn)動,連接和,交于點(diǎn),請你畫出點(diǎn)運(yùn)動路線的草圖,試求出線段的最小值.
(3)如圖③,在(2)的條件下,求周長的最大值;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】乘法公式的探究及應(yīng)用.
(1)如圖1,可以求出陰影部分的面積是 (寫成兩數(shù)平方差的形式);
(2)如圖2,若將陰影部分裁剪下來,重新拼成一個矩形,它的寬是 ,長是 ,面積是 (寫成多項式乘法的形式);
(3)比較圖1、圖2兩圖的陰影部分面積,可以得到乘法公式 (用式子表達(dá));
(4)運(yùn)用你所得到的公式,計算下列各題:
①(2m+n-p)(2m-n+p);②10.3×9.7.
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【題目】某學(xué)校為了慶祝校園藝術(shù)節(jié),準(zhǔn)備購買一批盆花布置校園.已知1盆A種花和2盆B種花一共需13元,2盆A種花和1盆B種花一共需11元.
(1)求1盆A種花和1盒B種花的售價各是多少元?
(2)學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種盆花共100盆,并且A種盆花的數(shù)量不超過B種盆花數(shù)量的2倍,請求出A種盆花的數(shù)量最多是多少?
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【題目】已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示:
(1)畫出△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△A′B′C′;
(2)在(1)的條件下,求點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C′所經(jīng)過的路線長及線段AC旋轉(zhuǎn)到新位置時所劃過區(qū)域的面積.
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【題目】如圖, AB與CD交于點(diǎn)O, OE⊥CD, OF⊥AB, ∠BOD=25°, 則∠AOE=______ , ∠DOF=______,∠AOC=______.
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