Question

【題目】定義：已知點(diǎn)是三角形邊上的一點(diǎn)（頂點(diǎn)除外），若它到三角形一條邊的距離等于它到三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的距離，則我們把點(diǎn)叫做該三角形的等距點(diǎn)．

（1）如圖1：中，，，，在斜邊上，且點(diǎn)是的等距點(diǎn)，試求的長(zhǎng)；

（2）如圖2，中，，點(diǎn)在邊上，，為中點(diǎn)，且．

①求證：的外接圓圓心是的等距點(diǎn)；②求的值．

Answer 1

【答案】（1）或 ； （2）①證明見(jiàn)解析, ②．

【解析】

（1）根據(jù)三角形的等距點(diǎn)的定義得出OB=OE或OA=OF，利用相似三角形，表達(dá)出對(duì)應(yīng)邊，列出方程求解即可；

（2）①由△CPD為直角三角形，作出外接圓，通過(guò)平行線分線段成比例得出DP∥OB，進(jìn)而證明△CBO≌△PBO，最后推出OP為點(diǎn)O到AB的距離，從而證明點(diǎn)O是△ABC的等距點(diǎn)；

（2）求相當(dāng)于求，由①可得△APO為直角三角，通過(guò)勾股定理計(jì)算出BC的長(zhǎng)度，從而求出．

解：（1）如圖所示，作OF⊥BC于點(diǎn)F，作OE⊥AC于點(diǎn)E，

則△OBF∽△ABC，

∴

∵，，由勾股定理可得AB=5，

設(shè)OB=x，則

∴，

∵點(diǎn)是的等距點(diǎn)，

若OB=OE，

∴

解得：

若OA=OF，OA=5-x

∴，解得

故OB的值為或

（2） ①證明：∵△CDP是直角三角形，所以取CD中點(diǎn)O，作出△CDP的外接圓，連接OP，OB

設(shè)圓O的半徑為r，則DC=2r，

∵D是AC中點(diǎn)，

∴OA=3r

∴，

又∵PA=2PB，

∴AB=3PB

∴

∴

∴∠ODP=∠COB，∠OPD=∠POB

又∵∠ODP=∠OPD，

∴∠COB=∠POB，

在△CBO與△PBO中， ，

∴△CBO≌△PBO（SAS）

∴∠OCB=∠OPB=90°，

∴OP⊥AB，

即OP為點(diǎn)O到AB的距離，

又∵OP=OC，

∴△CPD的外接圓圓心O是△ABC的等距點(diǎn)

②由①可知，△OPA為直角三角形，且∠PDC=∠BOC，OC=OP=r

∵在Rt△OPA中，OA=3r,

∴，

∴

∴在Rt△ABC中，AC=4r，，

∴，

∴