Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0）、B（0，b）是矩形OACB的兩個頂點．定義：如果雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過AC的中點D，那么雙曲線y=$\frac{k}{x}$為矩形OACB的中點雙曲線．
（1）若a=3，b=2，請判斷y=$\frac{3}{x}$是否為矩形OACB的中點曲線？并說明理由．
（2）若y=$\frac{k}{x}$是矩形OACB的中點雙曲線，點E是矩形OACB與中點雙曲線y=$\frac{k}{x}$的另一個交點，連結(jié)OD、OE，四邊形ODCE的面積S=4，試求出k的值．

Answer 1

分析 （1）求出點D（3，1）代入y=$\frac{3}{x}$中判斷即可；
（2）設(shè)出點D（m，n），表示出點C的坐標(biāo)，表示出矩形OACB的面積，再用三角形的面積和求出矩形OACB的面積，建立方程求解即可．

解答 解：（1）是，
理由：
a=3，b=2，
∴A（3，0），B（0，2），
∴C（3，2），
∴AC的中點坐標(biāo)為（3，1），
當(dāng)x=3時，y=$\frac{3}{x}$=$\frac{3}{3}$=1，
∴AC的中點在雙曲線y=$\frac{3}{x}$的圖象上，
∴y=$\frac{3}{x}$是為矩形OACB的中點曲線．
（2）如圖，

∵點D，E在雙曲線y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴S_△OBE=$\frac{1}{2}$k，S_△OAD=$\frac{1}{2}$k，
∵四邊形ODCE的面積S=4，
∴矩形OACB的面積=k+4，
∵y=$\frac{k}{x}$是矩形OACB的中點雙曲線，
設(shè)點D（m，n），
∴mn=k，C（m，2n），
∴矩形OACB的面積為2mn=2k，
∴2k=k+4，
∴k=4，

點評 此題是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，主要考查了新定義，幾何圖形的面積，解本題的關(guān)鍵是用兩種方法表示出矩形OACB的面積，求出k．