【題目】如圖,已知RtABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的圓O交斜邊ABD.過DDEACE,將ADE沿直線AB翻折得到ADF

1)求證:DF是⊙O的切線;

2)若⊙O的半徑為10,sinFAD=,延長FDBCG,求BG的長.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)由△ADE沿直線AB翻折得到△ADF,得到∠DAE=∠DAF∠AED=∠F=90°,由于OA=OD,于是得到∠DAE=∠ODA,根據(jù)平行線的判定定理得到OD∥AF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥DF,于是得到結(jié)論;
2)連接DC,由于AC O的直徑,即CDAB;又FDBC均是 O的切線且相交于點G由切線長定理可得:GD=GC,于是得到∠GDC=GCD,由于GDRt△BDC斜邊上的中線,即GD=BC,由于△ADE沿直線AB翻折得到△ADF,得到sinDAE=sinDAF=,解直角三角形得到sinDAC===,得DC=6,由勾股定理得AD=8;根據(jù)三角形相似即可得到結(jié)論.

(1)證明:

∵△ADE沿直線AB翻折得到△ADF,

∴∠DAE=DAF,AED=F=90°,

又∵OA=OD,

∴∠DAE=ODA,

∴∠DAF=ODA,

ODAF,

∴∠ODF+F=180°,

∴∠ODF=90°,

ODDF

DFO的切線;


(2)連接DC,

AC是圓O的直徑,

∴∠ADC=90°,即CDAB

又∵FDBC均是圓O的切線且相交于點G,

由切線長定理可得:GD=GC,

∴∠GDC=GCD,

又∵Rt△BDC,GCD+B=90°,GDC+GDB=90°,

∴∠B=GDB

GD=GB,

GDRt△BDC斜邊上的中線,GD=BC

△ADE沿直線AB翻折得到△ADF,

∴∠DAE=DAF

sinDAE=sinDAF=,

又∵圓O的半徑為5

AC=10,

Rt△DAC,ADC=90°,

sinDAC=DCAC=DC10=,得DC=6,

由勾股定理得AD=8

Rt△ADCRt△ACB,ADC=ACB=90°,∠DAC=BAC,

Rt△ADCRt△ACB,

,,解得BC=;

GB=GD=BC=.

練習冊系列答案
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