【題目】綜合與實踐:折紙中的數(shù)學(xué)
問題背景
在數(shù)學(xué)活動課上,老師首先將平行四邊形紙片ABCD按如圖①所示方式折疊,使點C與點A重合,點D落到D′處,折痕為EF.這時同學(xué)們很快證得:△AEF是等腰三角形.接下來各學(xué)習(xí)小組也動手操作起來,請你解決他們提出的問題.
操作發(fā)現(xiàn)
(1) “爭先”小組將矩形紙片ABCD按上述方式折疊,如圖②,發(fā)現(xiàn)重疊部分△AEF恰好是等邊三角形,求矩形ABCD的長、寬之比是多少?
實踐探究
(2)“勵志”小組將矩形紙片ABCD沿EF折疊,如圖③,使B點落在AD邊上的B′處;沿B′G折疊,使D點落在D′處,且B′D′過F點.試探究四邊形EFGB′是什么特殊四邊形?
(3)再探究:在圖③中連接BB′,試判斷并證明△BB′G的形狀.
【答案】(1)矩形ABCD的長、寬之比為;(2)四邊形EFGB′是平行四邊形,理由詳見解析;(3)△BB′G為直角三角形,理由詳見解析.
【解析】
(1)矩形的長、寬之比應(yīng)是.設(shè),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出,,再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出,,結(jié)合邊與邊之間的關(guān)系即可得出;
(2)四邊形是平行四邊形.根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出,從而得出相等的內(nèi)錯角“,,”,再由翻折的性質(zhì)可得出,,由此即可得出,從而找出,由兩組對邊互相平行即可證出四邊形是平行四邊形;
(3)△為直角三角形.連接交于點,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出,由翻折的性質(zhì)可得出,從而可得出,再由等腰三角形的性質(zhì)可得出,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出,由此即可證出△為直角三角形.
解:(1)矩形的長、寬之比應(yīng)是.
證明:設(shè),
等邊三角形,
,
四邊形為矩形,
,.
在中,,,,
,,
,
,
.
(2)四邊形是平行四邊形.
證明:四邊形為矩形,
,
,,.
由翻折的特性可知:,,
,,
又,
,
,
又,
四邊形是平行四邊形.
(3)△為直角三角形.
證明:連接交于點,如圖所示.
,
,
,
,
.
,
△為等腰三角形,
,
.
,
,
△為直角三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,BD為△ABC的角平分線,且BD=BC,E為BD延長線上的一點,BE=BA,過E作EF⊥AB,F為垂足.下列結(jié)論:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF;其中正確的是( )
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
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【題目】為響應(yīng)黨的“文化自信”號召,某校開展了古詩詞誦讀大賽活動,現(xiàn)隨機(jī)抽取部分同學(xué)的成績進(jìn)行統(tǒng)計,并繪制成如下的兩個不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中提供的信息,解答下列各題:
(1)直接寫出a的值,a= ,并把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整.
(2)求扇形B的圓心角度數(shù).
(3)如果全校有2000名學(xué)生參加這次活動,90分以上(含90分)為優(yōu)秀,那么估計獲得優(yōu)秀獎的學(xué)生有多少人?
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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)(k>0)的圖像交于A,B兩點,過點A做x軸的垂線,垂足為M,△AOM面積為1.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)在y軸上求一點P,使PA+PB的值最小,并求出其最小值和P點坐標(biāo).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與y軸交于點C,與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點,過點B作BE⊥x軸于點E,已知A點坐標(biāo)是(2,4),BE=2.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)連接OA、OB,求△AOB的面積.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程。
(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若△ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個實數(shù)根,第三邊BC的長為5。當(dāng)△ABC是等腰三角形時,求k的值。
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【題目】如圖,正方形ABCD中,E為AB邊上一點,過點E作EF⊥AB交對角線BD于點F.連接EC交BD于點G.取DF的中點H,并連接AH.若AH=,EG=,則四邊形AEFH的面積為___.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=,點D是BC邊上一動點(不與點B、C重合), 過點D作DE⊥BC交AB邊于點E,將∠B沿直線DE翻折,點B落在射線BC上的點F處,當(dāng)△AEF為直角三角形時,BD的長為________ .
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【題目】如圖,以正方形的頂點為坐標(biāo)原點,直線為軸建立直角坐標(biāo)系,對角線與相交于點,為上一點,點坐標(biāo)為,則點繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點的坐標(biāo)是( )
A.B.C.D.
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