Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1，0)，C(2，3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．

（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；

（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，1)或(，)或(，)；（3）面積的最大值為．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

（2）利用配方法及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)B，D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x+1），分點(diǎn)E在線段AC上及點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，由BD的長(zhǎng)結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x+3），再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出x的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，由BD的長(zhǎng)結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x﹣1），再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出x的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．綜上，此問得解；

（3）過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸，垂足為N，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，0），結(jié)合點(diǎn)A，C的坐標(biāo)及S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，可得出S△APC關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解：（1）將A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2+2x+3．

設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+a（k≠0），

將A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝kx+a，得：

，解得：，

∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝x+1．

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x+1＝2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x+1）．

分兩種情況考慮（如圖1）：

①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x+3）．

∵點(diǎn)F在拋物線上，

∴x+3＝﹣x2+2x+3，

解得：x1＝0，x2＝1（舍去），

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）；

②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x﹣1）．

∵點(diǎn)F在拋物線上，

∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，

解得：，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）或（，）．

綜上：滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），（）或（，）．

（3）過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸，垂足為N，如圖2所示．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，0）．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），

∴AM＝x+1，MN＝2﹣x，PM＝﹣x2+2x+3，CN＝3，AN＝3，

∴S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，

．

∴當(dāng)x＝時(shí)，S△APC取得最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）．