Question

16．如果方程x²+px+q=0的兩個根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：
（1）若p=-4，q=3，求方程x²+px+q=0的兩根．
（2）已知實數(shù)a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求$\frac{a}$+$\frac{a}$的值；
（3）已知關(guān)于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0），求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)p=-4，q=3，得出方程x²-4x+3=0，再求解即可；
（2）根據(jù)a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，得出a，b是x²-15x-5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出$\frac{a}$+$\frac{a}$的值；
（3）先設(shè)方程x²+mx+n=0，（n≠0）的兩個根分別是x₁，x₂，得出$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{m}{n}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{n}$，再根據(jù)這個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案．

解答 解：（1）當(dāng)p=-4，q=3，則方程為x²-4x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=1．

（2）∵a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a、b是x²-15x-5=0的解，
當(dāng)a≠b時，a+b=15，a-b=-5，
$\frac{a}$+$\frac{a}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=$\frac{1{5}^{2}-2×（-5）}{-5}$=-47；
當(dāng)a=b時，原式=2．

（3）設(shè)方程x²+mx+n=0，（n≠0），的兩個根分別是x₁，x₂，
則$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{m}{n}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{n}$，
則方程x²+$\frac{m}{n}$x+$\frac{1}{n}$=0的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．