Question

（滿分11分）

如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點H．

（1）證明：△ABG △ADE ；

（2）試猜想BHD的度數(shù)，并說明理由；

（3）將圖中正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（0°＜BAE ＜180°），設(shè)△ABE的面積為，△ADG的面積為，判斷與的大小關(guān)系，并給予證明．

 

Answer 1

略

解析:（1）證法一：

證明：在正方形ABCD和正方形AEFG中

∠GAE=∠BAD=90°              ……1分

∠GAE+∠EAB=∠BAD+EAB 

即∠GAB=∠EAD                 ……2分

   又AG=AE  AB=AD

 ∴△ABG≌△ADE                   ……4分

證法二：

證明：因為四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，所以∠GAE=∠BAD=90°，AG=AE，AB=AD，所以△EAD可以看成是△GAB逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，

所以△ABG≌△ADE

（2）證法一：

我猜想∠BHD=90°理由如下：

∵△ABG≌△ADE   ∴∠1=∠2      ……5分

而∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4

∵∠2+∠4=90   ∠1+∠3=90°    ……6分

∴∠BHD=90°                  ……7分

證法二：

我猜想∠BHD=90°理由如下：

由（1）證法(二)可知△EAD可以看成是△GAB逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，BG與DE是一組對應(yīng)邊，

所以BG⊥DE，即∠BHD=90°

（3）證法一：

當(dāng)正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)

0°＜∠BAE＜180°時,S1和S2總保持相等．  ……8分

證明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三種情況：

①當(dāng)0°＜∠BAE＜90°時 （如圖10）

過點B作BM⊥直線AE于點M，

過點D作DN⊥直線AG于點N．

∵∠MAN=∠BAD=90°

∴∠MAB=∠NAD

又∠AMB=∠AND=90° AB=AD

∴△AMB≌△AND 

∴BM=DN   又AE=AG

∴

∴           ……９分

②當(dāng)∠BAE=90°時如圖10（）

∵AE=AG  ∠BAE =∠DAG =90°AB=AD

∴△ABE≌△ADG

∴ 　　　　 ……１０分

③當(dāng)90°＜∠BAE＜180°時 如圖10（b）

和①一樣；同理可證

綜上所述，在（3）的條件下，總有． ……11分

證法二：

①當(dāng)0°＜∠BAE＜90°時，如圖10(c)

作EM⊥AB于點M，作GN⊥AD交DA延長線于點N，

 

則∠GNA=∠EMA=90°

又∵四邊形ABCD與

四邊形AEFG都是正方形，

∴AG=AE，AB=AD

∴∠GAN+∠EAN=90°，

∠EAM+∠EAN=90°

∴∠GAN=∠EAM

∴△GAN≌△EAM（AAS）∴GN=EM

∴

②③同證法一類似

證法三：

當(dāng)正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)0°＜∠BAE＜180°時,S1和S2總保持相等．  ……8分       

證明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三種情況：

①當(dāng)0°＜∠BAE＜90°時　如圖10（d）

延長GA至M使AM=AG，連接DM，則有

∵AE=AG=AM，AB=AD

又∠1+∠2=90°

∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3

∴△ABE≌△ADM （SAS）

∴

∴　　　　　　　　　　　……９分

②當(dāng)∠BAE=90°時（同證法一）　……10分

③當(dāng)90°＜∠BAE＜180°時如圖10（e）和①一樣；

同理可證

綜上所述，在（3）的條件下，總有   ……11分

證法四：

當(dāng)0°＜∠BAE＜90°時如圖10（f）延長DA至M使AM=AD，連接GM，

則有

再通過證明

△ABE與△AMG全等從而證出 �、冖弁�證法一類似

證法五：

（這種證法用三角函數(shù)知識證明，無須分類證明）

如圖10(g)四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，

∴AG=AE，AB=AD

當(dāng)∠BAE=時，∠GAD=180°-則

sin(180°-)=sin

即

∴