Question

1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，取旋轉(zhuǎn)角等于90°，把△BDC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；
（2）判斷AD²、BD²、CD²的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于CA=CB，∠ACB=90°，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A點(diǎn)，作EC⊥CD且EC=DC得到點(diǎn)E，則△ACE滿足條件；
（2）先判斷△ACB為等腰直角三角形得到∠B=∠CAB=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=CD，AE=BD，∠DCE=90°，∠CAE=∠B=45°，則∠EAD=90°，然后利用勾股定理得到DE²=CE²+CD²=2CD²，AD²+AE²=DE²，于是得到AD²+BD²=2CD²．

解答 解：（1）如圖，△CAE為所作；


（2）AD²+BD²=2CD²．理由如下：
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEC，
∴CE=CD，AE=BD，∠DCE=90°，∠CAE=∠B=45°，
∴∠EAD=∠CAE+∠CAB=45°+45°=90°，
在Rt△CDE中，DE²=CE²+CD²=2CD²，
在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²，
∴AD²+BD²=2CD²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．