Question

6．如圖，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）直接寫(xiě)出一次函數(shù)y=-x+4的值大于反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的值自變量x的范圍；
（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A在一次函數(shù)圖象上即可求出a值，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)的關(guān)系式，再聯(lián)立直線AB與反比例函數(shù)關(guān)系式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）觀察函數(shù)圖象，結(jié)合反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可找出不等式的解集；
（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最�。�根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB′的函數(shù)關(guān)系式，令其y=0求出x值即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用分割圖形求面積法即可求出S_△PAB的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（1，a）在一次函數(shù)y=-x+4的圖象上，
∴a=-1+4=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．
∵點(diǎn)A（1，3）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象上，
∴3=k，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{3}{x}$．
聯(lián)立直線AB與反比例函數(shù)的表達(dá)式，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）．
（2）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜0或1＜x＜3時(shí)，一次函數(shù)y=-x+4的圖象在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象的上方，
故-x+4＞$\frac{3}{x}$的解集為：x＜0或1＜x＜3．
（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，如圖所示．
∵點(diǎn)B（3，1），點(diǎn)B、B′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)B′（3，-1）．
設(shè)直線AB′的表達(dá)式為y=mx+n（m≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直線AB′的表達(dá)式為y=-2x+5．
令y=-2x+5中y=0，則x=$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，0）．
S_△PAB=S_△ABB′-S_△PBB′=$\frac{1}{2}$BB′•（x_B-x_A）-$\frac{1}{2}$BB′•（x_B-x_P）=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）聯(lián)立兩函數(shù)關(guān)系式成方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集；（3）找出點(diǎn)P的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解集該題型題目時(shí)，通過(guò)聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)關(guān)系式成方程組，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．