Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為，且過點(diǎn).直線與軸相交于點(diǎn).

（1）求該拋物線的解析式；

（2）以線段為直徑的圓與射線相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）先設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得出結(jié)果；

（2）先求出射線的解析式為，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x)．圓與射線OA相交于兩點(diǎn)，分兩種情況：①如圖1當(dāng)時(shí)，構(gòu)造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解；②如圖2，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解．

解：（1）根據(jù)頂點(diǎn)設(shè)拋物線的解析式為：，

代入點(diǎn)，得：，

拋物線的解析式為：．

設(shè)直線的解析式為：，

分別代入和，

得：，

直線的解析式為：；

（2）由（1）得：直線的解析式為，

令，得，

由題意可得射線的解析式為，

點(diǎn)在射線上，則可設(shè)點(diǎn)，

由圖可知滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)：

①當(dāng)時(shí)，構(gòu)造和，

可得：如圖1：

由圖可得，，，

．

在Rt△PMD中，,

在Rt△PBG中，,

在Rt△BMH中，,

點(diǎn)在以線段為直徑的圓上,，

可得：,

即：．

整理，得：

，解得：；

,．

;

②當(dāng)時(shí)，如圖2，構(gòu)造和，可得：

同理，根據(jù)BM2=BP2+PM2，可得方程：

42+42=(6-x)2+x2+(x-2)2+(x-4)2,化簡得，

，解得：，

∵．

．

綜上所述，符合題目條件的點(diǎn)有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為：或．