Question

10．如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為6cm，D，E分別是∠ACB的平分線與⊙O，直徑AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE．
（1）求AC、AD的長；
（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，如圖，根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得∠ACB=90°，則可利用勾股定理計算出AC=8；由DC平分∠ACB得∠ACD=∠BCD=45°，根據(jù)圓周角定理得∠DAB=∠DBA=45°，則△ADB為等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的長；
（2）連結(jié)OC，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性質(zhì)得∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°，加上∠CAB=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，于是可得到∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，則∠OCE+∠PCE=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可得PC為⊙O的切線．

解答 解：（1）連結(jié)BD，如圖1所示，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8（cm）；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°
∴△ADB為等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$（cm）；
（2）PC與圓⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OC，如圖2所示：
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°，
而∠CAB=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，
∴∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，
∴∠OCE+∠PCE=90°，
即∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC為⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定、圓周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握圓周角定理和切線的判定是解決問題的關(guān)鍵．