【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標系,拋物線y=﹣x2+x+4經(jīng)過A、B兩點.

(1)寫出點A、點B的坐標;

(2)若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移,分別交線段OA、CA和拋物線于點E、M和點P,連接PA、PB.設(shè)直線l移動的時間為t(0<t<4)秒,求四邊形PBCA的面積S(面積單位)與t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并求出四邊形PBCA的最大面積;

(3)在(2)的條件下,是否存在t,使得△PAM是直角三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)A(8,0)、B(0,4);(2)S=﹣8t2+32t+32,S最大值為64.(3)存在符合條件的點P,坐標為(3,10).

【解析】試題分析:1)拋物線的解析式中,令x=0,能確定點B的坐標;令y=0,能確定點A的坐標.(2)四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分;△ABC的面積是定值,關(guān)鍵是求出△PBA的面積表達式;若設(shè)直線l與直線AB的交點為Q,先用t表示出線段PQ的長,而△PAB的面積可由(PQOA)求得,在求出St的函數(shù)關(guān)系式后,由函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值.(3△PAM中,∠APM是銳角,而PM∥y軸,∠AMP=∠ACO也不可能是直角,所以只有∠PAC是直角一種可能,即 直線AP、直線AC垂直,此時兩直線的斜率乘積為-1,先求出直線AC的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式后可求得點P的坐標.

試題解析:

1)拋物線y=﹣0.5x2+3.5x+4中:令x=0y=4,則 B0,4);

y=0,0=﹣0.5x2+3.5x+4,解得 x1=﹣1、x2=8,則 A8,0);∴A8,0)、B0,4).

2△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,則OB=OC=4,∴C0﹣4).

A8,0)、B0,4),得:直線ABy=﹣0.5x+4

依題意,知:OE=2t,即 E2t,0);

∴P2t,﹣2t2+7t+4)、Q2t,﹣t+4),PQ=﹣2t2+7t+4﹣t+4=﹣2t2+8t;

S=SABC+SPAB=0.5×8×8+0.5×﹣2t2+8t×8=﹣8t2+32t+32=﹣8t﹣22+64;

t=2時,S有最大值,且最大值為64

3∵PM∥y軸,∴∠AMP=∠ACO90°;

∠APM是銳角,所以△PAM若是直角三角形,只能是∠PAM=90°

由A(8,0)、C(0,﹣4),得:直線AC:y=0.5x﹣4;

所以,直線AP可設(shè)為:y=﹣2x+h,代入A(8,0),得:﹣16+h=0,h=16

∴直線AP:y=﹣2x+16,聯(lián)立拋物線的解析式,∴存在符合條件的點P,且坐標為(3,10).

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【題目】如圖,直線l:y=x﹣ 與x軸正半軸、y軸負半軸分別相交于A、C兩點,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B(﹣1,0)和點C.

(1)填空:直接寫出拋物線的解析式:_____

(2)已知點Q是拋物線y=x2+bx+c在第四象限內(nèi)的一個動點.

①如圖,連接AQ、CQ,設(shè)點Q的橫坐標為t,△AQC的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;

②連接BQ交AC于點D,連接BC,以BD為直徑作⊙I,分別交BC、AB于點E、F,連接EF,求線段EF的最小值,并直接寫出此時Q點的坐標.

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C.摸出的三個球中至少有一個球是黑球

D.摸出的三個球中至少有兩個球是紅球

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1)本次一共調(diào)查了多少名學(xué)生?

2)在圖1中將選項B的部分補充完整;

3)若該校有3000名學(xué)生,你估計全?赡苡卸嗌倜麑W(xué)生平均每天參加體育活動的時間在0.5小時以下.

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