Question

2．對于坐標平面內的點，現將該點向右平移1個單位，再向上平移2個單位，這種點的運動稱為點A的斜平移，如點P（2，3）經1次斜平移后的點的坐標為（3，5），已知點A的坐標為（1，0）．
（1）分別寫出點A經1次，2次斜平移后得到的點的坐標．
（2）如圖，點M是直線l上的一點，點A關于點M的對稱點為點B，點B關于直線l的對稱點為點C．
①若A、B、C三點不在同一條直線上，判斷△ABC是否是直角三角形？請說明理由．
②若點B由點A經n次斜平移后得到，且點C的坐標為（7，6），求出點B的坐標及n的值．

Answer 1

分析 （1）根據平移的性質得出點A平移的坐標即可；
（2）①連接CM，根據中心和軸對稱的性質和直角三角形的判定解答即可；
②延長BC交x軸于點E，過C點作CF⊥AE于點F，根據待定系數法得出直線的解析式進而解答即可．

解答 解：（1）∵點P（2，3）經1次斜平移后的點的坐標為（3，5），點A的坐標為（1，0），
∴點A經1次平移后得到的點的坐標為（2，2），點A經2次平移后得到的點的坐標（3，4）；
（2）①連接CM，如圖1：

由中心對稱可知，AM=BM，
由軸對稱可知：BM=CM，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB，
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°，
∴∠ACM+∠MCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②延長BC交x軸于點E，過C點作CF⊥AE于點F，如圖2：

∵A（1，0），C（7，6），
∴AF=CF=6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
由①得∠ACE=90°，
∴∠AEC=45°，
∴E點坐標為（13，0），
設直線BE的解析式為y=kx+b，
∵C，E點在直線上，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{13k+b=0}\\{7k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=13}\end{array}\right.$，
∴y=-x+13，
∵點B由點A經n次斜平移得到，
∴點B（n+1，2n），由2n=-n-1+13，
解得：n=4，
∴B（5，8）．

點評 此題考查幾何變換問題，關鍵是根據中心和軸對稱的性質和直角三角形的判定分析，同時根據待定系數法得出直線的解析式解答．