Question

如圖1，已知直線CD∥EF，點A、B分別在直線CD與EF上．P為兩平行線間一點．
（1）求證∠APB=∠DAP+∠FBP；
（2）利用（1）的結論解答：
①如圖2，AP₁、BP₁分別平分∠DAP、∠FBP，請你直接寫出∠P與∠P₁的數(shù)量關系．
②如圖3，AP₂、BP₂分別平分∠CAP、∠EBP，若∠APB=80°，求∠AP₂B的度數(shù)．

Answer 1

考點：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過P作PM∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠APM=∠DAP，再根據(jù)平行公理求出CD∥EF然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根據(jù)∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代換即可得證；
（2）①根據(jù)（1）的規(guī)律和角平分線定義解答；
②根據(jù)①的規(guī)律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP₂B=∠CAP₂+∠EBP₂，然后根據(jù)角平分線的定義和平角等于180°列式整理即可得解．

解答：（1）證明：過P作PM∥CD，
∴∠APM=∠DAP．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行），
∴∠MPB=∠FBP．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性質(zhì)），
即∠APB=∠DAP+∠FBP；

（2）∠P=2∠P₁；

（3）由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP₂B=∠CAP₂+∠EBP₂，
∵AP₂、BP₂分別平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP₂=

1

2

∠CAP，∠EBP₂=

1

2

∠EBP，
∴∠AP₂B=

1

2

∠CAP+

1

2

∠EBP，
=

1

2

（180°-∠DAP）+

1

2

（180°-∠FBP），
=180°-

1

2

（∠DAP+∠FBP），
=180°-40°，
=140°．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)與概念是解題的關鍵，此類題目，難點在于過拐點作平行線．