（1）探究新知：
①如圖1，已知AD∥BC，AD=BC，點M，N是直線CD上任意兩點．
求證：△ABM與△ABN的面積相等．
②如圖2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，點M是直線CD上任一點，點G是直線EF上任一點，試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由．
（2）結論應用：
如圖3，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點D，試探究在拋物線y=ax2+bx+c上是否存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．
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分析：（1）①由于CD∥AB，所以△ABM和△ABN中，AB邊上的高相等，則兩個三角形是同底等高的三角形，所以它們的面積相等；
②分別過D、E作AB的垂線，設垂足為H、K；通過證△DAH≌△EBK，來得到DH=KE；則所求的兩個三角形是同底等高的三角形，由此得證；
（2）根據(jù)A、C的坐標，即可求得拋物線的解析式，進而可求出A、D的解析式；用待定系數(shù)法可確定直線AD的解析式；假設存在符合條件的E點，過C作CD⊥x軸于D，交直線AD于H；過E作EF⊥x軸于F，交直線AD于P；根據(jù)拋物線的對稱軸方程及直線AD的解析式，易求得H點的坐標，即可得到CH的長；設出E點橫坐標，根據(jù)直線AD和拋物線的解析式，可表示出P、E的縱坐標，即可得到PE的長；根據(jù)（1）題得到的結論，當PE=CH時，所求的兩個三角形面積相等，由此可列出關于E點橫坐標的方程，從而求出E點的坐標．（需注意的是E點可能在直線AD的上方或下方，這兩種情況下PE的表達式會有所不同，要分類討論）
解答：證明：（1）①分別過點M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為點E，F(xiàn)
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
∴AB∥CD；
∴ME=NF；
∵S△ABM=
1
2
AB•ME，S△ABN=
1
2
AB•NF，
∴S△ABM=S△ABN（1分）
②解：相等；理由如下：分別過點D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分別為H，K；
則∠DHA=∠EKB=90°；
∵AD∥BE，
∴∠DAH=∠EBK；
∵AD=BE，
∴△DAH≌△EBK；
∴DH=EK；（2分）
∵CD∥AB∥EF，
∴S△ABM=
1
2
AB•DH，S△ABG=
1
2
AB•EK，
∴S△ABM=S△ABG；（3分）
解：（2）存在．（4分）
因為拋物線的頂點坐標是C（1，4），
所以，可設拋物線的表達式為y=a（x-1）2+4；
又因為拋物線經過點A（3，0），
所以將其坐標代入上式，得0=a（3-1）2+4，解得a=-1；
∴該拋物線的表達式為y=-（x-1）2+4，
即y=-x2+2x+3；（5分）
∴D點坐標為（0，3）；
設直線AD的表達式為y=kx+3，
代入點A的坐標，得0=3k+3，解得k=-1；
∴直線AD的表達式為y=-x+3；
過C點作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點H；則H點的縱坐標為-1+3=2；
∴CH=CG-HG=4-2=2；（6分）
設點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為-m2+2m+3；
過E點作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點P，則點P的縱坐標為3-m，EF∥CG；
由﹙1﹚可知：若EP=CH，則△ADE與△ADC的面積相等；
①若E點在直線AD的上方，
則PF=3-m，EF=-m2+2m+3，
∴EP=EF-PF=-m2+2m+3-（3-m）=-m2+3m；
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∴-m2+3m=2，
解得m1=2，m2=1；（7分）
當m=2時，PF=3-2=1，EF=1+2=3；
∴E點坐標為（2，3）；
同理當m=1時，E點坐標為（1，4），與C點重合；（8分）
②若E點在直線AD的下方，
則PE=（3-m）-（-m2+2m+3）=m2-3m；（9分）
∴m2-3m=2，
解得m3=
3+
17
2
，m4=
3-
17
2
；（10分）
當m=
3+
17
2
時，E點的縱坐標為3-
3+
17
2
-2=-
1+
17
2
；
當m=
3-
17
2
時，E點的縱坐標為3-
3-
17
2
-2=
-1+
17
2
；
∴在拋物線上存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點的坐標為E1（2，3）；E2（
3+
17
2
，-
1+
17
2
）；E3（
3-
17
2
，
-1+
17
2
）．（12分）
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點評：此題主要考查了平行線的性質、三角形面積的求法、全等三角形的判定和性質、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識；同時還考查了分類討論的數(shù)學思想，能力要求高，難度較大．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（1）探究新知：如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關系，并說明理由．
（2）結論應用：
①如圖2，點M，N在反比例函數(shù)y=
kx
（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，試證明：MN∥EF；
②若①中的其他條件不變，只改變點M，N的位置如圖3所示，請判斷MN與EF是否平行．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（1）探究新知：
如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關系，并說明理由．
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（2）結論應用：
①如圖2，點M，N在反比例函數(shù)y=
kx
（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)．
試證明：MN∥EF．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．
（Ⅰ）探究新知
如圖①，⊙O是△ABC的內切圓，與三邊分別相切于點E、F、G．
（1）求證：內切圓的半徑r1=1； 
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）結論應用
（1）如圖②，若半徑為r2的兩個等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求r2的值；
（2）如圖③，若半徑為rn的n個等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均與AB相切，求rn的值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•河北一模）（1）探究新知：
①如圖1，已知AD∥BC，AD=BC，點M，N是直線CD上任意兩點．則S△ABM
=
=
S△ABN（填“＜”，“=”，“＞”）．
②如圖2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，點M是直線CD上任一點，點G是直線EF上任一點．試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由．
（2）結論應用：
如圖3，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點D．試探究在拋物線y=ax2+bx+c上是否存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

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