Question

（2013•河北一模）（1）探究新知：
①如圖1，已知AD∥BC，AD=BC，點(diǎn)M，N是直線CD上任意兩點(diǎn)．則S_△ABM

=

S_△ABN（填“＜”，“=”，“＞”）．
②如圖2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，點(diǎn)M是直線CD上任一點(diǎn)，點(diǎn)G是直線EF上任一點(diǎn)．試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由．
（2）結(jié)論應(yīng)用：
如圖3，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)D．試探究在拋物線y=ax²+bx+c上是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①由于CD∥AB，所以△ABM和△ABN中，AB邊上的高相等，則兩個三角形是同底等高的三角形，所以它們的面積相等；
②分別過D、E作AB的垂線，設(shè)垂足為H、K；通過證△DAH≌△EBK，來得到DH=KE；則所求的兩個三角形是同底等高的三角形，由此得證；
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，即可求得拋物線的解析式，進(jìn)而可求出A、D的解析式；用待定系數(shù)法可確定直線AD的解析式；假設(shè)存在符合條件的E點(diǎn)，過C作CD⊥x軸于D，交直線AD于H；過E作EF⊥x軸于F，交直線AD于P；根據(jù)拋物線的對稱軸方程及直線AD的解析式，易求得H點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到CH的長；設(shè)出E點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AD和拋物線的解析式，可表示出P、E的縱坐標(biāo)，即可得到PE的長；根據(jù)（1）題得到的結(jié)論，當(dāng)PE=CH時，所求的兩個三角形面積相等，由此可列出關(guān)于E點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，從而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．（需注意的是E點(diǎn)可能在直線AD的上方或下方，這兩種情況下PE的表達(dá)式會有所不同，要分類討論）

解答：解：（1）①如圖①，分別過點(diǎn)M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
∴AB∥CD；
∴ME=NF；
∵S_△ABM=

1

2

ABAB•ME，S_△ABN=

1

2

ABAB•NF，
∴S_△ABM=S_△ABN．
②相等．理由如下：如圖②，分別過點(diǎn)D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分別為H，K．
則∠DHA=∠EKB=90°．
∵AD∥BE，∴∠DAH=∠EBK．
∵AD=BE，
∴△DAH≌△EBK．∴DH=EK．  
∵CD∥AB∥EF，
∴S_△ABM=

1

2

AB•DH，S_△ABG=

1

2

AB•EK，
∴S_△ABM=S_△ABG．

（2）答：存在．  
因為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C（1，4），所以，可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-1）²+4．
又因為拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），將其坐標(biāo)代入上式，得0=a（3-1）²+4，解得a=-1．
∴該拋物線的表達(dá)式為y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3．  
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+3，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，得0=3k+3，解得k=-1．
∴直線AD的表達(dá)式為y=-x+3．
過C點(diǎn)作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點(diǎn)H．則H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1+3=2．
∴CH=CG-HG=4-2=2．  
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-m²+2m+3．
過E點(diǎn)作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3-m，EF∥CG．
由﹙1﹚可知：若EP=CH，則△ADE與△ADC的面積相等．
①若E點(diǎn)在直線AD的上方，
則PF=3-m，EF=-m²+2m+3．
∴EP=EF-PF=-m²+2m+3-（3-m）=-m²+3m．
∴-m²+3m=2．
解得m₁=2，m₂=1．
當(dāng)m=2時，PF=3-2=1，EF=1+2=3．
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．   
同理 當(dāng)m=1時，E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），與C點(diǎn)重合．  
②若E點(diǎn)在直線AD的下方，
則PE=（3-m）-（-m²+2m+3）=m²-3m．
∴m²-3m=2．解得m3=

3+ 17

2

，m4=

3- 17

2

．
當(dāng)m=

3+ 17

2

時，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3-

3+ 17

2

-2=-

1+ 17

2

；
當(dāng)m=

3- 17

2

時，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3-

3- 17

2

-2=

-1+ 17

2

．
∴在拋物線上存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點(diǎn)的坐標(biāo)為E₁（2，3）；E2(

3+ 17

2

，  -

1+ 17

2

)；E3(

3- 17

2

，  

-1+ 17

2

)．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形面積的求法、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識；同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，能力要求高，難度較大．