Question

已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠0，n＞0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C；拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于y軸對稱，其頂點(diǎn)為B，連接AC，BC，AB．
（1）請?jiān)跈M線上直接寫出拋物線C₂的解析式：______；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，判定△ABC的形狀，并說明理由；
（3）拋物線C₁上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請求出m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=-x²-2mx+n；

（2）當(dāng)m=1時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，
理由如下：如圖：
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)C又在y軸上，
∴AC=BC，過點(diǎn)A作拋物線C₁的對稱軸交x軸于D，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E．
∴當(dāng)m=1時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，1+n），
∴CE=1；
又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，n），
∴AE=1+n-n=1，
∴AE=CE；
從而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45°，
由對稱性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形；

（3）假設(shè)拋物線C₁上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，則PC=AB=BC．
由（2）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC，
從而△ABC為等邊三角形．
∴∠ACy=∠BCy=30°．
∵四邊形ABCP為菱形，且點(diǎn)P在C₁上，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AD對稱，
∴PC與AD的交點(diǎn)也為點(diǎn)E，
因此∠ACE=90°-30°=60°．
∵點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（m，m²+n），C（0，n），
∴AE=m²+n-n=m²，CE=|m|．
在Rt△ACE中，．
∴，∴．
故拋物線C₁上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，此時(shí)．
分析：（1）兩拋物線關(guān)于y軸對稱，它們的開口方向和大小都相同（即二次項(xiàng)系數(shù)a相同），與y軸的交點(diǎn)也相同（即常數(shù)項(xiàng)c相同），不同的只是對稱軸方程，可據(jù)此求解；
（2）由于兩個(gè)拋物線關(guān)于y軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可判斷出△ACB是等腰三角形；當(dāng)m=1時(shí)，可過A作C₁的對稱軸AD，過C作AD的垂線，設(shè)垂足為E，利用A、C的坐標(biāo)，求得AE、CE的長，從而證得∠ACE=45°，進(jìn)而求出∠ACy=∠BCy=45°，即△ACB是等腰直角三角形；
（3）若四邊形ABCP是菱形，且P在C₁上，那么C、P必關(guān)于AD對稱，即CP經(jīng)過E點(diǎn)；若四邊形ABCP是菱形，則有：AB=BC，此時(shí)△ABC是等邊三角形，那么∠ACy=∠BCy=30°，故∠ACE=60°；可仿照（2）的解題方法，表示出A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而得到AE、CE的長，以∠ACE的正切值作為等量關(guān)系即可求得m的值．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)圖象的幾何變化，等腰直角三角形、等邊三角形以及菱形的判定，充分利用軸對稱的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答此題的關(guān)鍵．