Question

【題目】四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)．只要善于觀察、樂(lè)于探索，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論．

（1）四邊形一條對(duì)角線上任意一點(diǎn)與另外兩個(gè)頂點(diǎn)的連線，將四邊形分成四個(gè)三角形（如圖①），其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積相等．你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？試試看．

已知：在四邊形ABCD中， O是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)．（如圖①）求證：S△OBCS△OAD=S△OABS△OCD；

（2）在三角形中（如圖②），你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，寫(xiě)出你猜想的結(jié)論，并證明：若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）能.

【解析】分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式，應(yīng)分別過(guò)點(diǎn)A、C作AE⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F．然后根據(jù)三角形的面積公式分別計(jì)算要證明的等式的左邊和右邊即可；

（2）根據(jù)（1）中的思路，顯然可以歸納出：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊上任意一點(diǎn)的連線上任取一點(diǎn)，與三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線，將三角形分成四個(gè)小三角形，其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積相等．證明思路類似．

（1）證明：如圖①，分別過(guò)點(diǎn)A、C，作AE⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，

則有：，，，

，∴，

，∴．

（2）解:能．從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊上任意一點(diǎn)的連線上任取一點(diǎn)，與三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線，將三角形分成四個(gè)小三角形，其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積相等，

或.

已知：在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，O為BD上一點(diǎn)，

求證：．

證明：如圖②，分別過(guò)點(diǎn)A、C，作AE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作CF⊥BD于點(diǎn)F，

則有：，，

，，

∴，

，

∴．