Question

【題目】已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A．

（1）直接寫(xiě)出A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）直線(xiàn)y=t (t<6)與拋物線(xiàn)交于B，C兩點(diǎn)（B在C 的左邊），過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，是否存在t的值，使得對(duì)于任意的m，∠DAC=∠ABD恒成立，若存在，請(qǐng)求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖，當(dāng)m=1時(shí)，直線(xiàn)y=2x交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E，在直線(xiàn)OE的右側(cè)作∠EOP交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，使得tan∠EOP=，已知x軸上有一個(gè)點(diǎn)M(t，0)， EM+PM是否存在最小值？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)A(-2，6)；(2)存在，；(3)存在，

【解析】

(1)將解析式變形，得到m的系數(shù)為0，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)設(shè)B、C的橫坐標(biāo)分別為，由方程組得：，得到，，根據(jù)題意證得△ADC∽△BDA，得，即，即可求得答案；

(3)先求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用tan∠EOP=，求得，從而依次求得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，)、直線(xiàn)OP的解析式、點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)E關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找到點(diǎn)M，求得直線(xiàn)FP的解析式即可求解．

(1)∵拋物線(xiàn)，

∴當(dāng)時(shí)，無(wú)論為何值，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A，
∴，，
∴定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)；
(2)設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，

由方程組得：，

∴，，

∵∠DAC=∠ABD，∠ADC=∠BDA，

∴△ADC∽△BDA，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

整理得：，

解得：(舍去)，

∴當(dāng)t時(shí)，使得對(duì)于任意的m，∠DAC=∠ABD恒成立；

(3)當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式為，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，

設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交OP于G，交軸于H，如圖：

∵直線(xiàn)交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，

∴OH=2，EH=4，

，

∵，

∴，

∴，

設(shè)GH=，則，

∵，即，

解得：，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，)，

設(shè)直線(xiàn)OP的解析式為：，

把點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，)代入得：，

∴直線(xiàn)OP的解析式為：，

解方程組得：或，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，

作點(diǎn)E關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接PF交軸于點(diǎn)M，此時(shí)EM+PM取得最小值，

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，)，

設(shè)直線(xiàn)FP的解析式為：，

把點(diǎn)F、點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得：，

解得：，

∴直線(xiàn)FP的解析式為：，

令，則，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，

∴當(dāng)時(shí)，EM+PM存在最小值．