【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0(其中k為常數(shù)).
(1)求證無論k為何值,方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根;
(2)已知函數(shù)y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的圖象不經(jīng)過第三象限,求k的取值范圍;
(3)若原方程的一個(gè)根大于3,另一個(gè)根小于3,求k的最大整數(shù)值.
【答案】(1)證明見解析;(2)k≤1;(3)2.
【解析】試題分析:(1)求出方程的判別式△的值,利用配方法得出△>0,根據(jù)判別式的意義即可證明;
(2)由于二次函數(shù)y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的圖象不經(jīng)過第三象限,又△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=(k﹣3)2+12>0,所以拋物線的頂點(diǎn)在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限,根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)知道拋物線開口向上,由此可以得出關(guān)于k的不等式組,解不等式組即可求解;
(3)設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1,x2,根據(jù)題意得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得k的取值范圍,再進(jìn)一步求出k的最大整數(shù)值.
試題解析:(1)∵△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=k2﹣6k+21=(k﹣3)2+12>0,
∴無論k為何值,方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根;
(2)∵二次函數(shù)y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的圖象不經(jīng)過第三象限,
∵二次項(xiàng)系數(shù)a=1,
∴拋物線開口方向向上,
∵△=(k﹣3)2+12>0,
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),
設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,
∴x1+x2=5﹣k>0,x1x2=1﹣k>0,
解得k<1,
即k的取值范圍是k<1;
(3)設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1,x2,
根據(jù)題意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,
即x1x2﹣3(x1+x2)+9<0,
又x1+x2=5﹣k,x1x2=1﹣k,
代入得,1﹣k﹣3(5﹣k)+9<0,
解得k<.
則k的最大整數(shù)值為2.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,連接對角線AC、BD,將△ABC沿BC方向平移,使點(diǎn)B移到點(diǎn)C,得到△DCE.
(1)求證:△ACD≌△EDC;
(2)請?zhí)骄?/span>△BDE的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(﹣1,0),對稱軸l如圖所示,則下列結(jié)論:①abc>0;②a﹣b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0,其中所有正確的結(jié)論是( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
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【題目】某市前年P(guān)M2.5的年均濃度為50微克/立方米,去年比前年下降了10%,如果今年P(guān)M2.5的年均濃度比去年也下降10%,那么今年P(guān)M2.5的年均濃度將是微克/立方米.
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【題目】如圖,A(0,1),M(3,2),N(4,4).動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿軸以每秒1個(gè)單位長的速度向上移動,且過點(diǎn)P的直線l:y=-x+b也隨之移動,設(shè)移動時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t=3時(shí),求l的解析式;
(2)若點(diǎn)M , N位于l的異側(cè),確定t的取值范圍;
(3)直接寫出t為何值時(shí),點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.
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