【題目】綜合與探究:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△AOC的直角邊OC在y軸正半軸上,且頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),直線y=-x+b過點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線AB的解析式;
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長的速度,沿O-C-A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),以相同的速度沿BO的方向向O運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)M作MQ⊥x軸,交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P和點(diǎn)M都停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.△APQ的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形的面積與S相等?若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0);直線AB的解析式為:y=-x+6;(2)S=;(3)t=2或.
【解析】
(1)先將點(diǎn)A(2,4)代入y=-x+b,運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,再令y=0,求出x的值,即可得到與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)①先求出直線AB與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo),由B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo),可知△OBD是等腰直角三角形,再過點(diǎn)A作AN⊥OB于N,可得AN=OC=4,BN=AN=4,則當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)N,所以分兩種情況討論:(i)當(dāng)0≤t≤4,即點(diǎn)P在OC上,點(diǎn)Q在BA上時(shí),用含t的代數(shù)式分別表示PQ、CP,再根據(jù)S=PQCP即可求解;(ii)當(dāng)4<t≤6,即點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在AO上時(shí),延長MQ交AC于點(diǎn)E,用含t的代數(shù)式分別表示AP、QE,再根據(jù)S=APQE即可求解;
②分兩種情況討論:(i)當(dāng)0≤t≤4,即點(diǎn)P在OC上,點(diǎn)Q在BA上時(shí),先由三角形面積公式求出S△MPQ=-t2+3t,再根據(jù)S△MPQ=S=t2-5t+12列出方程,解方程即可;(ii)當(dāng)4<t≤6,即點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在AO上時(shí),先由三角形面積公式求出S△MPQ=(6-t)|10-2t|,再根據(jù)S△MPQ=S=(6-t)(t-4),列出方程,解方程即可.
(1)將點(diǎn)A(2,4)代入y=-x+b,
得4=-2+b,解得b=6,
∴直線AB的解析式為:y=-x+6,
當(dāng)y=0時(shí),x=6,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0).
(2)設(shè)直線y=-x+6與y軸交于點(diǎn)D,則D(0,6),∵B(6,0),
∴OB=OD=6,∠OBD=∠ODB=45°.
過點(diǎn)A(2,4)作AN⊥OB于N,則AN=OC=4,ON=AC=2,BN=AN=4,
∴當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)N.
分兩種情況討論:
(i)當(dāng)0≤t≤4時(shí),點(diǎn)P在OC上,點(diǎn)Q在BA上,如圖1.
∵OP=t,BM=QM=t,
∴PQ∥OB,PQ=OM=OB-BM=6-t,CP=OC-OP=4-t,
∴S=PQCP=(6-t)(4-t)=t2-5t+12;
(ii)當(dāng)4<t≤6時(shí),點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在AO上,如圖2,延長MQ交AC于點(diǎn)E.
∵OC+CP=t,BM=t,
∴AP=6-t,OM=OB-BM=6-t.
∵tan∠AON=,
∴,
∴QM=12-2t,
∴QE=EM-QM=4-(12-2t)=2t-8,
∴S=APQE=(6-t)(2t-8)=-t2+10t-24.
綜上可知,S=;
②存在以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形的面積與S相等,理由如下:
分兩種情況討論:
(i)當(dāng)0≤t≤4時(shí),點(diǎn)P在OC上,點(diǎn)Q在BA上,如圖3.
∵S△MPQ=PQQM=(6-t)t=-t2+3t,S=t2-5t+12,
∴-t2+3t=t2-5t+12,
整理,得t2-8t+12=0,
解得t1=2,t2=6(不合題意舍去);
(ii)當(dāng)4<t≤6時(shí),點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在AO上,如圖4.
∵QM=12-2t,PE=|CE-CP|=|(6-t)-(t-4)|=|10-2t|,
∴S△MPQ=QMPE=(12-2t)|10-2t|=(6-t)|10-2t|,
又∵S=APQE=(6-t)(2t-8)=(6-t)(t-4),
∴(6-t)|10-2t|=(6-t)(t-4),
∵t=6時(shí),M與Q重合,不合題意舍去,
∴10-2t=±(t-4),
當(dāng)10-2t=t-4時(shí),t=;
當(dāng)10-2t=-(t-4)時(shí),t=6舍去.
綜上可知,存在以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形的面積與S相等,此時(shí)t的值為2或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如圖所示,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為且滿足過點(diǎn)分別作軸,軸,垂足分別為與雙曲線分別交于兩點(diǎn),連結(jié).
(1)求的值并結(jié)合圖像求出的取值范圍;
(2)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中,求線段最短時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)將三角形沿著翻折,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到四邊形能否為菱形?若能,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不能,說明理由;
(4)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中使得求出此時(shí)的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司大門出口處有一自動(dòng)感應(yīng)欄桿,點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn),當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí),欄桿AE會(huì)自動(dòng)升起,某天早上,欄桿發(fā)生故障,在某個(gè)位置突然卡住,這時(shí)測得欄桿升起的角度∠BAE=127°,已知AB⊥BC,支架AB高1.2米,大門BC打開的寬度為2米,這時(shí)一輛長寬高分別為(4600 mm、1700 mm、1400 mm)的汽車能否順利通過?(欄桿寬度,汽車反光鏡忽略不計(jì),參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,科技小組準(zhǔn)備用材料圍建一個(gè)面積為60m2的矩形科技園ABCD,其中一邊AB靠墻,墻長為12m。設(shè)AD的長為xm,DC的長為ym。
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長不超過26m,材料AD和DC的長都是整米數(shù),求出滿足條件的所有圍建方案。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣5,1),B(﹣2,2),C(﹣1,4),請(qǐng)按下列要求畫圖:
(1)將△ABC先向右平移4個(gè)單位長度、再向下平移1個(gè)單位長度,得到△A1B1C1,畫出△A1B1C1;
(2)畫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A2B2C2,并直接寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn),AB=4,以點(diǎn)A為中心,把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AD′F
(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,求證:點(diǎn)C、B、F三點(diǎn)共線;
(2)AG平分∠EAF交BC于點(diǎn)G.
①如圖2,連接EF.若BG:CE=5:6,求△AEF的面積;
②如圖3,若BM、DN分別為正方形的兩個(gè)外角角平分線,交AG、AE的延長線于點(diǎn)M、N.當(dāng)MM∥DC時(shí),直接寫出DN的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年5月,某大型商業(yè)集團(tuán)隨機(jī)抽取所屬的m家商業(yè)連鎖店進(jìn)行評(píng)估,將各連鎖店按照評(píng)估成績分成了A、B、C、D四個(gè)等級(jí),繪制了如圖尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.
評(píng)估成績n(分) | 評(píng)定等級(jí) | 頻數(shù) |
90≤n≤100 | A | 2 |
80≤n<90 | B | |
70≤n<80 | C | 15 |
n<70 | D | 6 |
根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)求m的值;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求B等級(jí)所在扇形的圓心角的大;(結(jié)果用度、分、秒表示)
(3)從評(píng)估成績不少于80分的連鎖店中任選2家介紹營銷經(jīng)驗(yàn),求其中至少有一家是A等級(jí)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3),點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)y=x2+bx+c的解析式.
(2)連接PO,PC,并將△POC沿y軸對(duì)折,得到四邊形POP′C,如果四邊形POP′C為菱形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)如果點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,能使得以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(﹣1,0)和(m,0),且1<m<2,當(dāng)x<﹣1時(shí),y隨著x的增大而減。铝薪Y(jié)論:
①abc>0;
②a+b>0;
③若點(diǎn)A(﹣3,y1),點(diǎn)B(3,y2)都在拋物線上,則y1<y2;
④a(m﹣1)+b=0;
⑤若c≤﹣1,則b2﹣4ac≤4a.
其中結(jié)論錯(cuò)誤的是 .(只填寫序號(hào))
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