Question

已知：如圖，△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD，連接DE．
（1）證明：△BDE是等腰三角形；
（2）若AB=2，求DE的長度．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）由△ABC為等邊三角形，可求出∠BDC=90°，由△DCE是等腰三角形求出∠CDE=∠CED=30°，根據(jù)等角對等邊即可證得；
（2）由勾股定理求出BD即可求得．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠DCB=60°
∵CE=CD∴∠CED=∠CDE，
∵∠DCB=∠CED+∠CDE=60°
∴∠CED=∠CDE=30°，
∵BD為中線∴∠DBC=30°，
∴∠DBC=∠CED∴BD=DE
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵BD為中線，
∴AD=

1

2

AC=1，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
∴BD=

3

，
∴DE=BD=

3

．

點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE=BD和求出BD的長．