Question

已知如圖，AB為⊙O直徑，CD為⊙O的弦，AE⊥CD交DC延長線于E，BF⊥CD，交CD延長線于F．
（1）求證：CE=DF；
（2）若AB=10cm，CD=6cm，求AE+BF的值．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,梯形中位線定理

專題：

分析：（1）如圖，過點O作OG⊥CD，運(yùn)用垂徑定理及平行線等分線段定理即可解決問題．
（2）如圖，連接OD，運(yùn)用勾股定理求出OG的長度，根據(jù)梯形的中位線定理即可解決問題．

解答：（1）證明：如圖，過點O作OG⊥CD于點G；
則DG=CD；
∵BF⊥EF，AE⊥EF，
∴BF∥OG∥AE，而OA=OB，
∴GF=GE，
∴GF-GD=GE-CE，
即CE=DF．
（2）解：如圖，連接OD；
∵AB=10，CD=6，
∴OD=5，DG=3；
由勾股定理得：OG²=OD²-DG²=25-9=16，
∴OG=4；
由（1）知：OG為梯形ABFE的中位線，
∴AE+BF=2OG=8，
即AE+BF的值為8．

點評：該命題以圓為載體，在重點考查垂徑定理、梯形的中位線定理等幾何知識點的同時，還滲透了對勾股定理等知識點的考查；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．