【題目】如圖,⊙O的直徑AB=4,∠ABC=30°,BC交⊙O于D,D是BC的中點(diǎn).

(1)求BC的長(zhǎng);
(2)過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為E,求證:直線DE是⊙O的切線.

【答案】
(1)解:連接AD,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,

又∵∠ABC=30°,AB=4,

∴BD=2 ,

∵D是BC的中點(diǎn),

∴BC=2BD=4


(2)證明:連接OD.

∵D是BC的中點(diǎn),O是AB的中點(diǎn),

∴DO是△ABC的中位線,

∴OD∥AC,則∠EDO=∠CED

又∵DE⊥AC,

∴∠CED=90°,∠EDO=∠CED=90°

∴DE是⊙O的切線.


【解析】(1)根據(jù)圓周角定理求得∠ADB=90°,然后解直角三角形即可求得BD,進(jìn)而求得BC即可;(2)要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用含30度角的直角三角形和圓周角定理,掌握在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在軍事上,常用時(shí)鐘表示方向角(讀數(shù)對(duì)應(yīng)的時(shí)針方向),如正北為12點(diǎn)方向,北偏西30°11點(diǎn)方向.在一次反恐演習(xí)中,甲隊(duì)員在A處掩護(hù),乙隊(duì)員從A處沿12點(diǎn)方向以40/分的速度前進(jìn),2分鐘后到達(dá)B處.這時(shí),甲隊(duì)員發(fā)現(xiàn)在自己的1點(diǎn)方向的C處有恐怖分子,乙隊(duì)員發(fā)現(xiàn)C處位于自己的2點(diǎn)方向(如圖).假設(shè)距恐怖分子100米以外為安全位置.

(1)乙隊(duì)員是否處于安全位置?為什么?

(2)因情況不明,甲隊(duì)員立即發(fā)出指令,要求乙隊(duì)員沿原路后撤,務(wù)必于15秒內(nèi)到達(dá)安全位置.為此,乙隊(duì)員至少應(yīng)用多快的速度撤離?(結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù): ,.)

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【題目】閱讀下面材料:
在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí),老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題:
尺規(guī)作圖:過圓外一點(diǎn)作圖的切線。
已知:P為圓O外一點(diǎn)。
求作:經(jīng)過點(diǎn)P的圓O的切線。

小敏的作法如下:
①連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點(diǎn)C;
②以點(diǎn)C為圓心,CO的長(zhǎng)為半徑作圓交圓O于A、B兩點(diǎn);
③作直線PA、PB,所以直線PA、PB就是所求作的切線。

老師認(rèn)為小敏的作法正確.
請(qǐng)回答:連接OA,OB后,可證∠OAP=∠OBP=90°,其依據(jù)是;由此可證明直線PA,PB都是⊙O的切線,其依據(jù)是

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【題目】如圖,是拋物線形拱橋,當(dāng)拱頂離水面2米時(shí),水面寬4米.若水面下降1米,則水面寬度將增加多少米?

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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn),AE=CF,連接EF、BF,EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.

(1)求證:OE=OF;

(2)求∠ACB的度數(shù)

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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠ADC=∠ABC90°,ADCD,DPABP.若四邊形ABCD的面積是18,則DP的長(zhǎng)是________

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(3)(﹣7)×(﹣5)﹣90÷(﹣15) (4)-120×+(-7)×+37×

(5)﹣14﹣(1﹣0.5)××[2-(-3)2].

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【題目】已知二次函數(shù)的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
(1)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是;頂點(diǎn)坐標(biāo)是
(2)在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫出此拋物線.

x

y

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(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)若OB=CD,求a的值.

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