Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于直線x=1對稱，與坐標(biāo)軸交與A，B，C三點，且AB=4，點D（2，）在拋物線上，直線l是一次函數(shù)y=kx-2（k≠0）的圖象，點O是坐標(biāo)原點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線l平分四邊形OBDC的面積，求k的值；
（3）把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線與直線l交于M，N兩點，問在y軸正半軸上是否存在一定點P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸對稱？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為拋物線關(guān)于直線x=1對稱，AB=4，所以A（-1，0），B（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
∵點D（2，）在拋物線上，
∴=a×3×（-1），解得a=，
∴拋物線解析式為：y=（x+1）（x-3）=x²+x+．

（2）拋物線解析式為：y=x²+x+，令x=0，得y=，∴C（0，），
∵D（2，），∴CD∥OB，直線CD解析式為y=．
直線l解析式為y=kx-2，令y=0，得x=；令y=，得x=；
如答圖1所示，設(shè)直線l分別與OB、CD交于點E、F，則E（，0），F(xiàn)（，），
OE=，BE=3-，CF=，DF=2-．
∵直線l平分四邊形OBDC的面積，
∴S_梯形OEFC=S_梯形FDBE，
∴（OE+CF）•OC=（FD+BE）•OC，
∴OE+CF=FD+BE，即：+=（3-）+（2-），
解方程得：k=，經(jīng)檢驗k=是原方程的解且符合題意，
∴k=．

（3）假設(shè)存在符合題意的點P，其坐標(biāo)為（0，t）．
拋物線解析式為：y=x²+x+=（x-1）²+2，
把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線解析式為：y=x²．
依題意畫出圖形，如答圖2所示，過點M作MD⊥y軸于點D，NE⊥y軸于點E，
設(shè)M（x_m，y_m），N（x_n，y_n），則MD=-x_m，PD=t-y_m；NE=x_n，PE=t-y_n．
∵直線PM與PN關(guān)于y軸對稱，∴∠MPD=∠NPE，
又∠MDP=∠NEP=90°，
∴Rt△PMD∽Rt△PNE，
∴，即 ①，
∵點M、N在直線y=kx-2上，∴y_m=kx_m-2，y_n=kx_n-2，
代入①式化簡得：（t+2）（x_m+x_n）=2kx_mx_n ②
把y=kx-2代入y=x²．，整理得：x²+2kx-4=0，
∴x_m+x_n=-2k，x_mx_n=-4，代入②式解得：t=2，符合條件．
所以在y軸正半軸上存在一個定點P（0，2），使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸對稱．
分析：（1）首先求出點A、B的坐標(biāo)，然后利用交點式、待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）首先求出點C坐標(biāo)，確定CD∥OB；由題意，直線l平分四邊形OBDC的面積，則S_梯形OEFC=S_梯形FDBE，據(jù)此列方程求出k的值；
（3）首先求出平移變換后的拋物線解析式，如答圖2所示，然后證明Rt△PMD∽Rt△PNE，由相似三角形比例線段關(guān)系得到式①：，化簡之后變?yōu)槭舰冢海╰+2）（x_m+x_n）=2kx_mx_n；最后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出t的值．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、拋物線的平移、相似三角形、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、圖形面積計算等知識點，有一定的難度．第（2）問的解題要點是根據(jù)S_梯形OEFC=S_梯形FDBE（如答圖1）列方程求解，第（3）問是存在型問題，綜合利用相似三角形的判定與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求解．