求函數(shù)y=x2+
1x2
的最小值，較合適的數(shù)學(xué)方法應(yīng)該是
 
法，當(dāng)然還可以用
 
法等方法來(lái)解決．
分析：求極值得問(wèn)題一般應(yīng)把代數(shù)式化為完全平方公式的形式，或通過(guò)函數(shù)圖象解答．
解答：解：要求該函數(shù)的最小值，可以運(yùn)用配方法：即y=（x-
1
x
）2+2≥2，則當(dāng)x=±1時(shí)，有最小值是2；
或者通過(guò)正確畫(huà)出圖象，觀察圖象發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了求函數(shù)的最小值的方法．注意x2和
1
x2
都是非負(fù)數(shù)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

甲，乙兩位同學(xué)對(duì)問(wèn)題“求函數(shù)y=x2+
1
x2
的最小值”提出各自的想法．甲說(shuō)：“可以用配方法，把它配成y=(x+
1
x
)2-2，所以函數(shù)的最小值為-2”．乙說(shuō)：“我也用配方法，但我配成y=(x-
1
x
)2+2，最小值為2”．你認(rèn)為
（填寫(xiě)“甲對(duì)”，“乙對(duì)”，“甲，乙都對(duì)”或“甲乙都不對(duì)”）的．你還可以用
法等方法來(lái)解決．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

我們知道，對(duì)于二次函數(shù)y=a（x+m）2+k的圖象，可由函數(shù)y=ax2的圖象進(jìn)行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我們稱函數(shù)y=ax2為“基本函數(shù)”，而稱由它平移得到的二次函數(shù)y=a（x+m）2+k為“基本函數(shù)”y=ax2的“朋友函數(shù)”．左右、上下平移的路徑稱為朋友路徑，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的線段距離
m2+k2
稱為朋友距離．
由此，我們所學(xué)的函數(shù)：二次函數(shù)y=ax2，函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)y=
k
x
都可以作為“基本函數(shù)”，并進(jìn)行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相應(yīng)的“朋友函數(shù)”．
如一次函數(shù)y=2x-5是基本函數(shù)y=2x的朋友函數(shù)，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路徑可以是向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，朋友距離=
12+32
=
10
．
（1）探究一：小明同學(xué)經(jīng)過(guò)思考后，為函數(shù)y=2x-5又找到了一條朋友路徑為由基本函數(shù)y=2x先向
 
，再向下平移7單位，相應(yīng)的朋友距離為
 
．
（2）探究二：已知函數(shù)y=x2-6x+5，求它的基本函數(shù)，朋友路徑，和相應(yīng)的朋友距離．
（3）探究三：為函數(shù)y=
3x+4
x+1
和它的基本函數(shù)y=
1
x
，找到朋友路徑，并求相應(yīng)的朋友距離．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

問(wèn)題背景：
若矩形的周長(zhǎng)為1，則可求出該矩形面積的最大值．我們可以設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，面積為s，則s與x的函數(shù)關(guān)系式為：s=-x2+
1
2
x（x＞0），利用函數(shù)的圖象或通過(guò)配方均可求得該函數(shù)的最大值．
提出新問(wèn)題：
若矩形的面積為1，則該矩形的周長(zhǎng)有無(wú)最大值或最小值？若有，最大（�。┲凳嵌嗌�？
分析問(wèn)題：
若設(shè)該矩形的一邊長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2(x+
1
x
)（x＞0），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大（�。┲盗耍�
解決問(wèn)題：
借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探索函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（小）值．
（1）實(shí)踐操作：填寫(xiě)下表，并用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）的圖象：
x … 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 …
y …
17
2
20
3
 5 4 5
20
3
17
2
 …
（2）觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖象，猜想當(dāng)x=
1
1
時(shí)，函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）有最
小
小
值（填“大”或“小”），是
4
4
．
（3）推理論證：?jiǎn)栴}背景中提到，通過(guò)配方可求二次函數(shù)s=-x2+
1
2
x（x＞0）的最大值，請(qǐng)你嘗試通過(guò)配方求函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（�。┲�，以證明你的猜想．〔提示：當(dāng)x＞0時(shí)，x=(
x
)2〕

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)．例如：
8
3
=2+
2
3
=2
2
3
．在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．例如：
x-1
x+1
，
x2
x-1
這樣的分式就是假分式；
3
x+1
，
2x
x2+1
這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式和的形式）．
例如：
x-1
x+1
=
(x+1)-2
x+1
=1-
2
x+1
； 
x2
x-1
=
x2-1+1
x-1
=
(x+1)(x-1)+1
x-1
=x+1+
1
x-1
．
（1）將分式
x-1
x+2
化為帶分式；
（2）若分式
2x-1
x+1
的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值；
（3）求函數(shù)y=
2x2-1
x+1
圖象上所有橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)．例如：
8
3
=2+
2
3
=2
2
3
．在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．例如：
x-1
x+1
，
x2
x-1
這樣的分式就是假分式；
3
x+1
，
2x
x2+1
這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式和的形式）．
例如：
x-1
x+1
=
(x+1)-2
x+1
=1-
2
x+1
； 
x2
x-1
=
x2-1+1
x-1
=
(x+1)(x-1)+1
x-1
=x+1+
1
x-1
．
（1）將分式
x-1
x+2
化為帶分式；
（2）若分式
2x-1
x+1
的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值；
（3）求函數(shù)y=
2x2-1
x+1
圖象上所有橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

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