Question

我們知道，對于二次函數(shù)y=a（x+m）²+k的圖象，可由函數(shù)y=ax²的圖象進行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我們稱函數(shù)y=ax²為“基本函數(shù)”，而稱由它平移得到的二次函數(shù)y=a（x+m）²+k為“基本函數(shù)”y=ax²的“朋友函數(shù)”．左右、上下平移的路徑稱為朋友路徑，對應(yīng)點之間的線段距離

m2+k2

稱為朋友距離．
由此，我們所學的函數(shù)：二次函數(shù)y=ax²，函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)y=

k

x

都可以作為“基本函數(shù)”，并進行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相應(yīng)的“朋友函數(shù)”．
如一次函數(shù)y=2x-5是基本函數(shù)y=2x的朋友函數(shù)，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路徑可以是向右平移1個單位，再向下平移3個單位，朋友距離=

12+32

=

10

．
（1）探究一：小明同學經(jīng)過思考后，為函數(shù)y=2x-5又找到了一條朋友路徑為由基本函數(shù)y=2x先向

 

，再向下平移7單位，相應(yīng)的朋友距離為

 

．
（2）探究二：已知函數(shù)y=x²-6x+5，求它的基本函數(shù)，朋友路徑，和相應(yīng)的朋友距離．
（3）探究三：為函數(shù)y=

3x+4

x+1

和它的基本函數(shù)y=

1

x

，找到朋友路徑，并求相應(yīng)的朋友距離．

Answer 1

分析：（1）把y=2x-5換一種方法拆分，保證最后的常數(shù)項為-7，朋友距離等于兩次移動距離的平方和的算術(shù)平方根；
（2）基本函數(shù)只包括二次項的系數(shù)，并且二次項的系數(shù)不變；找到新拋物線的頂點坐標即可求得朋友路徑，朋友距離等于兩次移動距離的平方和的算術(shù)平方根；
（3）把所給函數(shù)進行拆分，同理得到朋友路徑與距離．

解答：解：（1）y=2（x+1）-7，
∴向左平移1個單位（2分）；
朋友距離為

12+72

=5

2

（2分）；

（2）基本函數(shù)為y=x²（1分）；
∵原拋物線的頂點坐標為（0，0），新拋物線的頂點坐標為（3，-4），
∴朋友路徑為先向右平移3個單位，再向下平移4個單位（1分）；
相應(yīng)的朋友距離

32+42

=5（1分）；

（3）函數(shù)y=

3x+4

x+1

可化為y=

1

x+1

+3，
∴朋友路徑為先向左平移1個單位，再向上平移3個單位．相應(yīng)的朋友距離為

12+32

=

10

．（3分）

點評：解決本題的關(guān)鍵是理解所給范例中的朋友函數(shù)和朋友距離的概念，并結(jié)合其余函數(shù)的特點在其余函數(shù)中加以運用．