Question

如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝12 cm，半徑為4 cm的⊙O與AB、AC兩邊都相切，與BC交于點(diǎn)D、E．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿著邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R從點(diǎn)C出發(fā)，沿著邊CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)P、Q、R同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度分別是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s.

  （1）求證：BD＝CE；

  （2）若x＝3，當(dāng)△PBQ∽△QCR時(shí)，求t的值；

  （3）設(shè)△PBQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是△PB'Q，求當(dāng)t和x分別為何值時(shí)，點(diǎn)B'與圓心O恰好重合．

Answer 1

（1）證明：連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H．連接OE、OD．

∵⊙O與AB、AC兩邊都相切，

∴點(diǎn)O到AB、AC兩邊的距離相等．

∴AH是∠CAB的平分線．

∵AB＝AC，

∴AH⊥BC，AH平分BC．

∵OE＝OD，OH⊥ED，

∴OH平分ED．

∵CE＝CH－EH，BD＝BH－DH，

且CH＝BH，EH＝DH，

∴ BD＝CE．                                                                                                        3分

（2）解：在Rt△ABC中，BC＝＝12．

∵△PBQ∽△QCR，∴＝，即＝．解得t＝．    6分

（3）解：設(shè)⊙O與AB相切于點(diǎn)M，連接OM、OB、OP、OQ，H參考（1）中作法．

∵點(diǎn)O與點(diǎn)B關(guān)于PQ對(duì)稱，

∴PQ垂直平分BO．

∴OP＝BP，OQ＝BQ．

∵⊙O與AB相切于點(diǎn)M，∴OM⊥AB．

設(shè)BP＝a，在Rt△OMP中，(12－4－a)²＋4²＝a²，解得a＝5；

設(shè)BQ＝b，在Rt△OHB中，(6－b)²＋(2)²＝b²，解得b＝．

t＝＝7 s．  x＝＝ cm．