Question

1．如圖，延長△ABC的高AD和它的外接圓交于H，AD為直徑作圓交AB、AC于E、F兩點，EF交AD于G．求證：AD²=AG•AH．

Answer 1

分析 連接DF，DE，BH，根據(jù)圓周角定理得到∠1=∠2，∠C=∠H，由AD是⊙O′的直徑，得到∠AFD=∠AED=90°，推出△AEG∽△AHB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE•AB=AG•AH，由于△AED∽△ADB，得到AD²=AE•AB，等量代換得到結(jié)論．

解答 證明：連接DF，DE，BH，
∴∠1=∠2，∠C=∠H，
∵AD是⊙O′的直徑，
∴∠AFD=∠AED=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠2=∠C，
∴∠1=∠H，
∵∠EAG=∠HAB，
∴△AEG∽△AHB，
∴$\frac{AE}{AH}=\frac{AG}{AB}$，
∴AE•AB=AG•AH，
∵∠AED=∠ADB=90°，∠EAD=∠BAD，
∴△AED∽△ADB，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，
∴AD²=AE•AB，
∴AD²=AG•AH．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．