Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，4），對稱軸是直線x=-

3

2

，線段AD平行于x軸，交拋物線于點D．在y軸上取一點C（0，2），直線AC交拋物線于點B，連結(jié)OA，OB，OD，BD．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求點B坐標(biāo)和坐標(biāo)平面內(nèi)使△EOD∽△AOB的點E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點F是BD的中點，點P是線段DO上的動點，問PD為何值時，將△BPF沿邊PF翻折，使△BPF與△DPF重疊部分的面積是△BDP的面積的

1

4

？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）運用待定系數(shù)法和對稱軸的關(guān)系式求出a、b的即可；
（2）由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由拋物線的解析式構(gòu)成方程組就可以求出B點的坐標(biāo)，由相似三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出E的坐標(biāo)；
（3）分情況討論當(dāng)點B落在FD的左下方，點B，D重合，點B落在OD的右上方，由三角形的面積公式和菱形的性質(zhì)的運用就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，4），且對稱軸是直線x=-

3

2

，
∴

a+b=4 - b 2a =- 3 2

，
解得：

a=1 b=3

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²+3x；

（2）如圖1，
∵點A（1，4），線段AD平行于x軸，
∴D的縱坐標(biāo)為4，
∴4=x²+3x，
∴x₁=-4，x₂=1，
∴D（-4，4）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得

4=k+b 2=b

，
解得：

k=2 b=2

，
∴y=2x+2；
當(dāng)2x+2=x²+3x時，
解得：x₁=-2，x₂=1（舍去）．
∴y=-2．
∴B（-2，-2）．
∴DO=4

2

，BO=2

2

，BD=2

10

，OA=

17

．
∴DO²=32，BO²=8，BD²=40，
∴DO²+BO²=BD²，
∴△BDO為直角三角形．
∵△EOD∽△AOB，
∴∠EOD=∠AOB，

OD

OB

=

OE

OA

=

4 2

2 2

=2，
∴∠AOB-∠AOD=∠EOD-∠AOD，
∴∠BOD=∠AOE=90°．
即把△AOB繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A₁
∴A₁（4，-1），
∴E（8，-2）．
作△AOB關(guān)于x軸的對稱圖形，所得點E的坐標(biāo)為（2，-8）．
∴當(dāng)點E的坐標(biāo)是（8，-2）或（2，-8）時，△EOD∽△AOB；

（3）由（2）知DO=4

2

，BO=2

2

，BD=2

10

，∠BOD=90°．
若翻折后，點B落在FD的左下方，如圖2．
S_△HFP=

1

4

S_△BDP=

1

2

S_△DPF=

1

2

S_△B′PF=S_△DHP=S_△B′HF，
∴DH=HF，B′H=PH，
∴在平行四邊形B′FPD中，PD=B′F=BF=

1

2

BD=

10

；
若翻折后，點B，D重合，S_△HFP=

1

2

S_△BDP，不合題意，舍去．
若翻折后，點B落在OD的右上方，如圖3，
S_△HFP=

1

4

S_△BDP=

1

2

S_△BPF=

1

2

S_△DPF=

1

2

S_△B′PF=S_△DHF=S_△B′HP
∴B′P=BP，B′F=BF，DH=HP，B′H=HF，
∴四邊形DFPB′是平行四邊形，
∴B′P=DF=BF，
∴B′P=BP=B′F=BF，
∴四邊形B′FBP是菱形，
∴FD=B′P=BP=

1

2

BD=

10

，根據(jù)勾股定理，得
OP²+OB²=BP²，
∴（4

2

-PD）²+（2

2

）²=（

10

）²，
解得PD=3

2

，PD=5

2

＞4

2

（舍去），
綜上所述，PD=

10

或PD=3

2

時，將△BPF沿邊PF翻折，使△BPF與△DPF重疊部分的面積是△BDP的面積的

1

4

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運用，相似三角形的性質(zhì)的運用，菱形的判定及性質(zhì)的運用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，分類討論思想的運用．等底、等高的三角形的面積的運用，解答時運用三角形的面積關(guān)系求解是關(guān)鍵．