Question

【題目】如圖，矩形的周長(zhǎng)是20，且，是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，連接，，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)是______．

Answer 1

【答案】或3

【解析】

分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，△ECF是直角三角形；當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，△ECF是直角三角形，分別根據(jù)直角三角形的勾股定理列方程求解即可．

∵矩形ABCD的周長(zhǎng)是20，

∴AD+CD=10

∵AD:CD=3:2，

∴AD=6，CD=4，

如圖所示，當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，△ECF是直角三角形，

由折疊可得，∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，

∴∠CFP=180°，即點(diǎn)P，F，C在一條直線上，

在Rt△CDE和Rt△CFE中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），

∴CF=CD=4，

設(shè)AP=FP=x，則BP=4-x，CP=x+4，

在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4-x）2+62=（x+4）2，

解得x=，即AP=；

如圖所示，當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，△ECF是直角三角形，

過F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，則∠FQE=∠D=90°，

又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，

∴∠FEQ=∠ECD，

∴△FEQ∽△ECD，

∴，即，

解得FQ=，QE=，

∴AQ=HF=，AH=，

設(shè)AP=FP=x，則HP=-x，

∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，即（-x）2+（）2=x2，

解得x=1，即AP=1．

綜上所述，AP的長(zhǎng)為1或．