Question

3．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M是AD的中點(diǎn)，動點(diǎn)E在線段AB上，連結(jié)EM并延長交射線CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作EF的垂線交BC于點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG．
（1）求證：△AME≌△DMF；
（2）在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，探究：
①△EGF的形狀是否發(fā)生變化，若不變，請判斷△EGF的形狀，并說明理由；
②線段MG的中點(diǎn)H運(yùn)動的路程最長為多少？（直接寫出結(jié)果）
（3）設(shè)AE=x，△EGF的面積為S，求當(dāng)S=6時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠EAM=∠FDM=90°，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）①過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，通過條件可以證明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，進(jìn)而得出∠EGM=45°，再由（1）的結(jié)論可以得出∠EGF=90°，從而得出結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到A時，G為BC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到B時，點(diǎn)G與C重合，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）在Rt△AME中，AE=x，AM=2．根據(jù)勾股定理EM²=x²+4，根據(jù)已知條件列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠MDF=90°，
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM．
在△AME與△DMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MDF}\\{AM=DM}\\{∠AME=∠FMD}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DMF；

（2）①△EGF的形狀不發(fā)生變化，始終是等腰直角三角形．
理由：過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，如圖2，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四邊形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵M(jìn)G⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
∴△AEM≌△HMG．
∴ME=MG．
∴∠EGM=45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME=MF．
∵M(jìn)G⊥EF，
∴GE=GF．
∴∠EGF=2∠EGM=90°．
∴△GEF是等腰直角三角形；

②線段MG的中點(diǎn)H運(yùn)動的路程最長為1，
如圖3，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到A時，MG⊥AD，∴MG⊥BC，
∴G為BC的中點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到B時，點(diǎn)G與C重合，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴HH′=$\frac{1}{2}$CG=1，
∴線段MG的中點(diǎn)H運(yùn)動的路程最長為1；

（3）在Rt△AME中，AE=x，AM=2．
根據(jù)勾股定理，得EM²=AE²+AM²=x²+4．
S=S_△EGF=$\frac{1}{2}$EF•GM=EM²=x²+4，即x²+4=6．
∴x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$（舍去）．
∴當(dāng)x=$\sqrt{2}$時，S=6．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)值的運(yùn)用，等邊三角形的判定，等腰直角三角形的判定．熟練掌握全等三角形和相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．