【題目】定義:如果一個四邊形的一組對角互余,那么我們稱這個四邊形為“對角互余四邊形”.
(1)如圖①,在對角互余四邊形ABCD中,∠B=60°,且AC⊥BC,AC⊥AD,若BC=1,則四邊形ABCD的面積為 ;
(2)如圖②,在對角互余四邊形ABCD中,AB=BC,BD=13,∠ABC+∠ADC=90°,AD=8,CD=6,求四邊形ABCD的面積;
(3)如圖③,在△ABC中,BC=2AB,∠ABC=60°,以AC為邊在△ABC異側(cè)作△ACD,且∠ADC=30°,若BD=10,CD=6,求△ACD的面積.
【答案】(1)2;(2)36;(3).
【解析】
(1)由AC⊥BC,AC⊥AD,得出∠ACB=∠CAD=90°,利用含30°直角三角形三邊的特殊關(guān)系以及勾股定理,就可以解決問題;
(2)將△BAD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到△BCE,則△BCE≌△BAD,連接DE,作BH⊥DE于H,作CG⊥DE于G,作CF⊥BH于F.這樣可以求∠DCE=90°,則可以得到DE的長,進(jìn)而把四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△BCD和△BCE的面積之和,△BDE和△CDE的面積容易算出來,則四邊形ABCD面積可求;
(3)取BC的中點E,連接AE,作CF⊥AD于F,DG⊥BC于G,則BE=CE=BC,證出△ABE是等邊三角形,得出∠BAE=∠AEB=60°,AE=BE=CE,得出∠EAC=∠ECA= =30°,證出∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,得出AC=AB,設(shè)AB=x,則AC=x,由直角三角形的性質(zhì)得出CF=3,從而DF=3,設(shè)CG=a,AF=y,證明△ACF∽△CDG,得出,求出y=,由勾股定理得出y2=(x)2-32=3x2-9,b2=62-a2=102-(2x+a)2,(2x+a)2+b2=132,整理得出a=,進(jìn)而得y=,得出[]2=3x2-9,解得x2=34-6,得出y2=()2,解得y=-3,得出AD=AF+DF=,由三角形面積即可得出答案.
解:(1)∵AC⊥BC,AC⊥AD,
∴∠ACB=∠CAD=90°,
∵對角互余四邊形ABCD中,∠B=60°,
∴∠D=30°,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=1,
∴∠BAC=30°,
∴AB=2BC=2,AC=BC=,
在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠D=30°,
∴AD=AC=3,CD=2AC=2,
∵S△ABC=ACBC=××1=,
S△ACD═ACAD=××3=,
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=2,
故答案為:2;
(2)將△BAD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到△BCE,如圖②所示:
則△BCE≌△BAD,
連接DE,作BH⊥DE于H,作CG⊥DE于G,作CF⊥BH于F.
∴∠CFH=∠FHG=∠HGC=90°,
∴四邊形CFHG是矩形,
∴FH=CG,CF=HG,
∵△BCE≌△BAD,
∴BE=BD=13,∠CBE=∠ABD,∠CEB=∠ADB,CE=AD=8,
∵∠ABC+∠ADC=90°,
∴∠DBC+∠CBE+∠BDC+∠CEB=90°,
∴∠CDE+∠CED=90°,
∴∠DCE=90°,
在△BDE中,根據(jù)勾股定理可得:DE===10,
∵BD=BE,BH⊥DE,
∴EH=DH=5,
∴BH===12,
∴S△BED=BHDE=×12×10=60,
S△CED=CDCE=×6×8=24,
∵△BCE≌△BAD,
∴S四邊形ABCD=S△BCD+S△BCE=S△BED﹣S△CED=60﹣24=36;
(3)取BC的中點E,連接AE,作CF⊥AD于F,DG⊥BC于G,如圖③所示:
則BE=CE=BC,
∵BC=2AB,
∴AB=BE,
∵∠ABC=60°,
∴△ABE是等邊三角形,
∴∠BAE=∠AEB=60°,AE=BE=CE,
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,
∴AC=AB,
設(shè)AB=x,則AC=x,
∵∠ADC=30°,
∴CF=CD=3,DF=CF=3,
設(shè)CG=a,AF=y,
在四邊形ABCD中,∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAC+∠DAC=360°,
∴∠DAC+∠BCD=180°,
∵∠BCD+∠DCG=180°,
∴∠DAC=∠DCG,
∵∠AFC=∠CGD=90°,
∴△ACF∽△CDG,
∴=,即=,
∴y,
在Rt△ACF中,Rt△CDG和Rt△BDG中,由勾股定理得:y2=(x)2﹣32=3x2﹣9,b2=62﹣a2=102﹣(2x+a)2,(2x+a)2+b2=132,
整理得:x2+ax﹣16=0,
∴a=,
∴y==×=,
∴[]2=3x2﹣9,
整理得:x4﹣68x2+364=0,
解得:x2=34﹣6,或x2=34+6(不合題意舍去),
∴x2=34﹣6,
∴y2=3(34﹣6)﹣9=93﹣18=93﹣2=()2,
∴y=﹣3,
∴AF=﹣3,
∴AD=AF+DF=,
∴△ACD的面積=AD×CF=××3=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等腰直角三角形中,,,點在斜邊上(),作,且,連接,如圖(1).
(1)求證:;
(2)延長至點,使得,與交于點.如圖(2).
①求證:;
②求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD與正方形CEFG,點E在CD上,點G在BC的延長線上,M是AF的中點,連接DM,EM.
(1)填空:DM與EM數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系為 (直接填寫);
(2)若AB=4,設(shè)CE=x(0<x<4),△MEF面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式[可利用(1)的結(jié)論],并求出y的最大值;
(3)如果將正方形CEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度,我們發(fā)現(xiàn)DM與EM數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍未發(fā)生改變.
①若正方形ABCD邊長AB=13,正方形CEFG邊長CE=5,當(dāng)D,E,F三點旋轉(zhuǎn)至同一條直線上時,求出MF的長;
②證明結(jié)論:正方形CEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度,DM與EM數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍未發(fā)生改變.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究:在一次聚會上,規(guī)定每兩個人見面必須握手,且只握手1次.
(1)若參加聚會的人數(shù)為3,則共握手___次;若參加聚會的人數(shù)為5,則共握手___次;
(2)若參加聚會的人數(shù)為(為正整數(shù)),則共握手___次;
(3)若參加聚會的人共握手28次,請求出參加聚會的人數(shù).
拓展:嘉嘉給琪琪出題:“若線段上共有個點(含端點,),線段總數(shù)為30,求的值.”
琪琪的思考:“在這個問題上,線段總數(shù)不可能為30.”琪琪的思考對嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解本校九年級男生“引體向上”項目的訓(xùn)練情況,隨機抽取該年級部分男生進(jìn)行了一次測試(滿分15分,成績均記為整數(shù)分),并按測試成績(單位:分)分成四類:A類(12≤m≤15),B類(9≤m≤11),C類(6≤m≤8),D類(m≤5)繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)汁圖,請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(l)本次抽取樣本容量為____,扇形統(tǒng)計圖中A類所對的圓心角是____度;
(2)請補全統(tǒng)計圖;
(3)若該校九年級男生有300名,請估計該校九年級男生“引體向上”項目成績?yōu)镃類的有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交通工程學(xué)理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續(xù)的流體,并用流量、速度、密度三個概念描述車流的基本特征,其中流量(輛小時)指單位時間內(nèi)通過道路指定斷面的車輛數(shù);速度(千米小時)指通過道路指定斷面的車輛速度,密度(輛千米)指通過道路指定斷面單位長度內(nèi)的車輛數(shù).為配合大數(shù)據(jù)治堵行動,測得某路段流量與速度之間關(guān)系的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
速度v(千米/小時) | ||||||||
流量q(輛/小時) |
(1)根據(jù)上表信息,下列三個函數(shù)關(guān)系式中,刻畫,關(guān)系最準(zhǔn)確是_____________________.(只填上正確答案的序號)
①;②;③
(2)請利用(1)中選取的函數(shù)關(guān)系式分析,當(dāng)該路段的車流速度為多少時,流量達(dá)到最大?最大流量是多少?
(3)已知,,滿足,請結(jié)合(1)中選取的函數(shù)關(guān)系式繼續(xù)解決下列問題:市交通運行監(jiān)控平臺顯示,當(dāng)時道路出現(xiàn)輕度擁堵.試分析當(dāng)車流密度在什么范圍時,該路段將出現(xiàn)輕度擁堵?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)分別是,,若二次函數(shù)的圖象過兩點,且該函數(shù)圖象的頂點為,其中,是整數(shù),且,,則的值為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)北京市統(tǒng)計局發(fā)布的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,北京市近五年國民生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)如圖1所示,2017年國民生產(chǎn)總值中第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)、第三產(chǎn)業(yè)所占比例如圖2所示,根據(jù)以上信息,下列判斷錯誤的是( )
A.2013年至2017年北京市國民生產(chǎn)總值逐年增加
B.2017年第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為5 320億元
C.2017年比2016年的國民生產(chǎn)總值增加了10%
D.若從2018年開始,每一年的國民生產(chǎn)總值比前一年均增長10%,到2019年的國民生產(chǎn)總值將達(dá)到33 880億元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班共30名同學(xué)參加了網(wǎng)絡(luò)上第二課堂的禁毒知識競賽(共20道選擇題),學(xué)習(xí)委員對競賽結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)每個人答題正確題數(shù)都超過15題.通過統(tǒng)計制成了下表,結(jié)合表中信息,解答下列問題:
答對題數(shù) | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
人數(shù) | 3 | 9 | 6 | 4 |
(1)補統(tǒng)計表中數(shù)據(jù):
(2)求這30名同學(xué)答對題目的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(3)答題正確率為100%的4名同學(xué)中恰好是2名男同學(xué)和2名女同學(xué),現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)參加學(xué)校禁毒知識搶答大賽,問抽到1男1女的概率是多少?
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