Question

【題目】如圖，△ABC中，CE和CF分別平分∠ACB和△ABC的外角∠ACD，一動點O在AC上運動，過點O作BD的平行線與∠ACB和∠ACD的角平分線分別交于點E和點F．

（1）求證：當點O運動到什么位置時，四邊形AECF為矩形，說明理由；

（2）在第（1）題的基礎上，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF為正方形，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當點O運動到AC的中點位置時，四邊形AECF為矩形，理由見解析；（2）當△ABC為直角三角形時，四邊形AECF為正方形，理由見解析.

【解析】

（1）利用角平分線的性質以及平行線的性質得出OE=OF，即可得出結論；

（2）證出EF⊥AC，即可得出結論．

（1）證明：當點O運動到AC的中點位置時，四邊形AECF為矩形；理由如下：

∵O為AC中點，

∴OA=OC，

∵EF∥BD，

∴∠CEO=∠ECB，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACE，

∴∠CEO=∠ECO，

∴OE=OC，

同理可證，OC=OF，

∴OE=OF，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

又∵EF=2OE，AC=2OC，

∴EF=AC，

∴四邊形AECF為矩形；

（2）解：當△ABC為直角三角形時，即∠ACB=90°時，四邊形AECF為正方形；

理由如下：

∵EF∥BD，∠ACB=90°，

∴∠AOE=90°，

∴EF⊥AC，

∵四邊形AECF為矩形，

∴四邊形AECF為正方形．