【題目】已知:△ABC內(nèi)接于⊙O,連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)D,滿足∠BEC=3∠ACD.
(1)如圖1,求證:AB=AC;
(2)如圖2,連接BD,點(diǎn)F為弧BD上一點(diǎn),連接CF,弧CF=弧BD,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD,垂足為點(diǎn)G,求證:CF+DG=CG;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)H為AC上一點(diǎn),分別連接DH,OH,OH⊥DH,過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AC,交⊙O于點(diǎn)P,OH:CP=1: ,CF=12,連接PF,求PF的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)連接AD.設(shè)∠BEC=3α,∠ACD=α,利用等量代換得出∠ABC=∠ACB,最后進(jìn)一步證明結(jié)論即可;
(2)連接AD,在CD上取一點(diǎn)Z,使得CZ=BD,通過(guò)證明△ADB≌△AZC得出AD=AZ,然后進(jìn)一步證明即可;
(3)連接AD,PA,作OK⊥AC于K,OR⊥PC于R,CT⊥FP交FP的延長(zhǎng)線于T,利用三角函數(shù)以及勾股定理進(jìn)一步求解即可.
(1)證明:如圖1中,連接AD.設(shè)∠BEC=3α,∠ACD=α.
∵∠BEC=∠BAC+∠ACD,
∴∠BAC=2α,
∵CD是直徑,
∴∠DAC=90°,
∴∠D=90°﹣α,
∴∠B=∠D=90°﹣α,
∵∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣2α﹣(90°﹣α)=90°﹣α.
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)證明:如圖2中,連接AD,在CD上取一點(diǎn)Z,使得CZ=BD.
∵弧BD=弧CF,
∴DB=CF,
∵∠DBA=∠DCA,CZ=BD,AB=AC,
∴△ADB≌△AZC(SAS),
∴AD=AZ,
∵AG⊥DZ,
∴DG=GZ,
∴CG=CZ+GZ=BD+DG=CF+DG.
(3)連接AD,PA,作OK⊥AC于K,OR⊥PC于R,CT⊥FP交FP的延長(zhǎng)線于T.
∵CP⊥AC,
∴∠ACP=90°,
∴PA是直徑,
∵OR⊥PC,OK⊥AC,
∴PR=RC,∠ORC=∠OKC=∠ACP=90°,
∴四邊形OKCR是矩形,
∴RC=OK,
∵OH:PC=1:,
∴設(shè)OH=a,PC=2a,
∴PR=RC=a,
∴RC=OK=a,sin∠OHK=,
∴∠OHK=45°,
∵OH⊥DH,
∴∠DHO=90°,
∴∠DHA=180°﹣90°﹣45°=45°,
∵CD是直徑,
∴∠DAC=90°,
∴∠ADH=90°﹣45°=45°,
∴∠DHA=∠ADH,
∴AD=AH,
∵∠COP=∠AOD,
∴AD=PC,
∴AH=AD=PC=2a,
∴AK=AH+HK=2a+a=3a,
在Rt△AOK中,tan∠OAK=,OA==,
∴sin∠OAK=,
∵∠ADG+∠DAG=90°,∠ACD+∠ADG=90°,
∴∠DAG=∠ACD,
∵AO=CO,
∴∠OAK=∠ACO,
∴∠DAG=∠ACO=∠OAK,
∴tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=,
∴AG=3DG,CG=3AG,
∴CG=9DG,
由(2)可知,CG=DG+CF,
∴DG+12=9DG,
∴DG=,AG=3DG=3×=,
∴AD=,
∴PC=AD=,
∵sin∠F=sin∠OAK,
∴sin∠F=,
∴CT==×12=,FT=,PT=,
∴PF=FT﹣PT=﹣=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù),下列結(jié)論中不正確的是. ( )
A.圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-2)B.圖象位于第二、四象限
C.若,則D.在每一個(gè)象限內(nèi), 隨值的增大而增大
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【題目】樣本一:92,94,96;樣本二:m,94,96.嘉淇通過(guò)相關(guān)計(jì)算并比較,發(fā)現(xiàn):樣本二的平均數(shù)較大,方差較。畡tm的值可能是( 。
A.91B.92C.95D.98
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【題目】小明家的門框上裝有一把防盜門鎖(如圖1).其平面結(jié)構(gòu)圖如圖2所示,鎖身可以看成由兩條等弧AD,弧BC和矩形ABCD組成,弧BC的圓心是倒鎖按鈕點(diǎn)M.已知弧AD的弓形高GH=2cm,AD=8cm,EP=11cm.當(dāng)鎖柄PN繞著點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)至NQ位置時(shí),門鎖打開,此時(shí)直線PQ與弧BC所在的圓相切,且PQ∥DN,tan∠NQP=2.
(1)弧BC所在圓的半徑為_____cm.
(2)線段AB的長(zhǎng)度約為_____cm.(≈2.236,結(jié)果精確到0.1cm)
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為定值,E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合),AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F,FG⊥AE交BC于點(diǎn)G,GH⊥BD于點(diǎn)H.現(xiàn)給出下列命題:①AF=FG;②FH的長(zhǎng)度為定值.則( 。
A.①是真命題,②是真命題B.①是真命題,②是假命題
C.①是假命題,②是真命題D.①是假命題,②是假命題
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【題目】某校體育組為了解全校學(xué)生“最喜歡的一項(xiàng)球類項(xiàng)目”,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題:
(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖(圖2);
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“籃球”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角是____________度?
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(2)求三次傳球后,球恰在A手中的概率.
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