【題目】已知點(diǎn)M(3,2),拋物線L:y=x2﹣3x+c與x軸從左到右的交點(diǎn)為A,B.
(1)若拋物線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,2),求拋物線L的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)2OA=OB時(shí),求c的值;
(3)直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,①求點(diǎn)N的坐標(biāo);②若線段MN與拋物線L:y=x2﹣3x+c有唯一公共點(diǎn),直接寫出正整數(shù)c的值.
【答案】(1)y=x2﹣3x+2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣);(2)2或﹣18;(3)①(0,﹣1),②1和3
【解析】
(1)把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式,利用方程求得c的值;將已得函數(shù)解析式配方,可以求得頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)設(shè)A(,0),則OB=2OA=2||,需對(duì)的正負(fù)性進(jìn)行分類討論.若>0,則B(2,0),根據(jù)點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱可求得的值,再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式,解方程即求得c的值.若<0,則B(﹣2,0),計(jì)算方法與前面一樣.
(3)①利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式,令x=0即求得點(diǎn)N的坐標(biāo).
②由于拋物線開(kāi)口方向、大小,及對(duì)稱軸固定,可把拋物線看作上下平移,再觀察其與線段MN的交點(diǎn)情況.先聯(lián)立直線MN和拋物線解析式得到關(guān)于x的一元二次方程,計(jì)算△=0時(shí)c的值,把c的值代回方程組求得直線和拋物線此時(shí)的交點(diǎn),落在線段MN上,說(shuō)明c的值滿足條件.把拋物線向下平移,剛好過(guò)點(diǎn)M時(shí)求出c的值,此時(shí)直線與拋物線由兩個(gè)交點(diǎn);繼續(xù)往下平移拋物線,就變成只有一個(gè)交點(diǎn);一直到拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N為止,求c的值,于是得到滿足條件的c的范圍,再取正整數(shù)即為所求.
(1)∵拋物線L:y=x2﹣3x+c經(jīng)過(guò)M(3,2)
∴9﹣9+c=2
解得:c=2.
∴y=x2﹣3x+2=(x﹣)2﹣
∴拋物線L的解析式為:y=x2﹣3x+2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣)
(2)設(shè)A(,0),則OA=||,OB=2OA=2||
①若>0,則B(2,0)
∵拋物線對(duì)稱軸為直線:x=,點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱
∴,即
解得:=1
∴A(1,0)代入拋物線解析式得:1﹣3+c=0
解得:c=2
②若<0,則B(﹣2,0)
∴
解得:=﹣3
∴A(﹣3,0)代入拋物線解析式得:9+9+c=0
解得:c=﹣18
綜上所述,c的值為2或﹣18.
(3)①∵直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,2)
∴3+b=2,解得:b=﹣1
∴直線解析式為y=x﹣1
當(dāng)x=0時(shí),y=﹣1
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為(0,﹣1)
②聯(lián)立直線MN與拋物線解析式得:
整理得:x2﹣4x+c+1=0
當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),△=(﹣4)2﹣4(c+1)=0
解得:c=3
∴方程的解為:
∴此時(shí)交點(diǎn)在線段MN上,即c=3滿足“線段MN與拋物線L:y=x2﹣3x+c有唯一公共點(diǎn)”
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí),解得c=2,此時(shí)拋物線與線段MN有2個(gè)公共點(diǎn)
當(dāng)拋物線往下平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)N時(shí),解得c=﹣1,此時(shí)拋物線與線段MN只有交點(diǎn)N
∴當(dāng)﹣1≤c<2時(shí),拋物線與線段MN只有一個(gè)公共點(diǎn)
∴滿足條件的正整數(shù)c的值為1和3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示:兩個(gè)同心圓,半徑分別是和,矩形ABCD邊AB,CD分別為兩圓的弦,當(dāng)矩形ABCD面積取最大值時(shí),矩形ABCD的周長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣1,0)、(0,﹣3).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn),點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn),且DC=DE,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在第二問(wèn)的條件下,在直線DE上存在點(diǎn)P,使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似,請(qǐng)你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā),分別勻速前往B地與C地,甲車到達(dá)B地休息一段時(shí)間后原速返回,乙車到達(dá)C地后立即返回.兩車恰好同時(shí)返回A地.圖②是兩車各自行駛的路程y(千米)與出發(fā)時(shí)間x(時(shí))之間的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題:
(1)甲車到達(dá)B地休息了 時(shí);
(2)求甲車返回A地途中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)x為何值時(shí),兩車與A地的路程恰好相同.(不考慮兩車同在A地的情況)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正△ABC 的邊長(zhǎng)為 2,頂點(diǎn) B、C 在半徑為 的圓上,頂點(diǎn) A在圓內(nèi),將正△ABC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn) A 第一次落在圓上時(shí),則點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為 (結(jié)果保留π);若 A 點(diǎn)落在圓上記做第 1 次旋轉(zhuǎn),將△ABC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn) C 第一次落在圓上記做第 2 次旋轉(zhuǎn),再繞 C 將△ABC 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn) B 第一次落在圓上,記做第 3 次旋轉(zhuǎn)……,若此旋轉(zhuǎn)下去,當(dāng)△ABC 完成第 2017 次旋轉(zhuǎn)時(shí),BC 邊共回到原來(lái)位置 次.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AD是⊙O的直徑,AB為⊙O的弦,OP⊥AD,OP與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,過(guò)B點(diǎn)的切線交OP于點(diǎn)C.
(1)求證:∠CBP=∠ADB.
(2)若OA=2,AB=1,求線段BP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn),連接PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值,小華的解題思路,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,那么就將求PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為求PM+MN+PC的值,連接CN,當(dāng)點(diǎn)P,M落在CN上時(shí),此題可解.
(1)請(qǐng)判斷的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)請(qǐng)你參考小華的解題思路,證明PA+PB+PC=PM+MN+PC;
(3)當(dāng),求PA+PB+PC的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)開(kāi)業(yè),為了活躍氣氛,用紅、黃、藍(lán)三色均分的轉(zhuǎn)盤設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案,凡來(lái)商場(chǎng)消費(fèi)的顧客都可以選擇一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行抽獎(jiǎng).
方案一:轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次,指針落在紅色區(qū)域可領(lǐng)取一份獎(jiǎng)品;
方案二:轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次,指針落在不同顏色區(qū)域可領(lǐng)取一份獎(jiǎng)品,你會(huì)選擇哪個(gè)方案?請(qǐng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,點(diǎn)為上一點(diǎn)且與不重合.,交于.
(1)求證:;
(2)設(shè),求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)時(shí),直接寫出_________.
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