Question

如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=6，AB=8．以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）求sin∠E的值．
（3）求ED的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）先連結(jié)OD，CD，由于AC=BC，得出D是AB的中點(diǎn)．由O是BC的中點(diǎn)，得出DO∥AC，可證EF是⊙O的切線；
（2）連接BG，可得BG∥EF，那么∠E=∠GBC，都表示出BG²，利用勾股定理求得CG的值，CG：BC即為sinE的值；
（3）利用（2）中所求得出sin∠E=

OD

OE

=

1

9

，求出EO的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：如圖，連結(jié)OD，CD，則∠BDC=90°．
∴CD⊥AB．
∵AC=BC，∴AD=BD．
∴D是AB的中點(diǎn)．
∵O是BC的中點(diǎn)，
∴DO∥AC．
∵EF⊥AC于F．
∴EF⊥DO．
∴EF是⊙O的切線．

（ 2 ）解：連結(jié)BG，
∵BC是直徑，∴∠BGC=90°=∠CFE．
∴BG∥EF．
∴sin∠E=

FC

EC

=

CG

BC

．
設(shè)CG=x，則AG=6-x．
在Rt△BGA中，BG²=BC²-CG²．
在Rt△BGC中，BG²=BA²-AG²．
∴6²-x²=8²-（6-x）²．
解得：x=

2

3

．即CG=

2

3

．
在Rt△BGC中．
∴sin∠E=

CG

BC

=

2 3

6

=

1

9

．

（3）解：由題意和（2）可得，OD=3
在Rt△ODE中
sin∠E=

OD

OE

=

1

9

，
∴OE=27，
∴DE=

272-32

=12

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用；把所求角進(jìn)行轉(zhuǎn)移是基本思路，求得CG的長(zhǎng)是解決本題的難點(diǎn)．