Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，n），B（m，0）中的m，n是方程組$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-2}\\{m-n=-14}\end{array}\right.$的解，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OA=2OC，AB=10，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AD于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在射線DA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)另一點(diǎn)也停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）連接PC，請(qǐng)用含t的關(guān)系式來(lái)表示△PAC的面積S；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PAC的面積等于△BOQ面積的一半？若存在請(qǐng)求出t值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程組即可求得m和n的值，則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)即可求得；
（2）求得AD的長(zhǎng)是3，則分成0≤t≤$\frac{3}{2}$和t＞$\frac{3}{2}$兩種情況求得AP的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式求解；
（3）作QH⊥OB于點(diǎn)H．則BQ=3t，△BQH∽△BAO，利用相似三角形的性質(zhì)求得QH的長(zhǎng)，則△OBQ的面積即可利用t表示出來(lái)，然后分成0≤t≤$\frac{3}{2}$和t＞$\frac{3}{2}$兩種情況，根據(jù)△PAC的面積等于△BOQ面積的一半即可列方程求解．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-2}\\{m-n=-14}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-8}\\{n=6}\end{array}\right.$，
則A（0，6），B（-8，0），C（3，0）； 
（2）D的坐標(biāo)是（3，6），
當(dāng)0≤t≤$\frac{3}{2}$時(shí)，AP=3-2t，
則S=$\frac{1}{2}$（3-2t）×6=9-6t；
當(dāng)t＞$\frac{3}{2}$時(shí)，AP=2t-3，
則S=$\frac{1}{2}$×（2t-3）×6=6t-9；
（3）作QH⊥OB于點(diǎn)H．則BQ=3t，△BQH∽△BAO，
則$\frac{BQ}{AB}$=$\frac{QH}{OA}$，即$\frac{3t}{10}$=$\frac{QH}{6}$，
解得：QH=$\frac{9}{5}$t，
則S_△BOQ=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{9}{5}$t=$\frac{36}{5}$t．
當(dāng)0≤t≤$\frac{3}{2}$時(shí)，9-6t=$\frac{1}{2}$×$\frac{36}{5}$t，
解得：t=$\frac{15}{16}$；
當(dāng)t＞$\frac{3}{2}$時(shí)，6t-9=$\frac{1}{2}$×$\frac{36}{5}$t，
解得：t=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積的計(jì)算以及相似三角形的判定于性質(zhì)，利用t表示出QH的長(zhǎng)是關(guān)鍵．